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不定积分公式总结.doc不定积分小结
一、不定积分基本公式
(a xa+1
I xa dx = + C(a 工-1)
(3) 2dx = £+C
(5) [ cos xdx = sin x + C
(7) f cotxdx = ln|sinx| + C
(9) f escxdx = ln|cscx — cotx| + C
/ esc2 xdx = — cot x + C
(2) J 扌 dx = ln|x| + C
(4) / sin xdx = — cos x + C
(6) /tanxdx = — ln|cosx| + C
(8) J secxdx = ln|secx + tanx| + C (10) f sec2 x dx = tanx + C
(12) f = arctan x + C
' 7 J l+x2
(13) J磊+ct吨+C
x2+a2
（14）J具諾呵日+C
x2-a2
（⑸J县=訓茫| + c
a2-x2
(16)J^==arcsin% + C
(17) f，•乎-=arcsin - + C
yja2-x2
（18）侥
=In % + yjx2 ± a2
(19) [ y/a2 — x2 dx = — x2 4-^-arcsin --f- C
一 x f a ]
± a2 dx = -y/x2 ± a2 ± — In x + v%2 ± a2\ + C
夕a 夕•
j z / a
(20)
a2
两个重要的递推公式（由分部积分法可得）
⑴久=J sinnxdx （详情请査阅教材166页）
呱=土坯二+ 口％2（求三角函数积分） n n
易得Z\： n为奇数时，可递推至Dx = f sinxdx = -cosx + C；
n为偶数时，可递推至D2 = f sin2x dx = ^- + C：
（2儿=/（疋：：2严（详情请査阅教材173页）
1 x 2n - 1
人人2na2 （%2 + a2）n + 2na2 易得人可递推至人=丿船=;arctan
（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）
三、普遍方法
（一）换元积分法:
第一类换元积分法（凑微分法）
这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见 函数的导数。
首先我们來看一下最常见的一类有理函数的例子
注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和
配方可以得到解决。
1
r ——dx
V5 + x — x* 1 2
=-y/5 + X - X2 +
dx
（ x f - i（-2x + 1） 4- i
匸 7 1 2x-l
= —y/5 + x — + -arcsin(―=r-) + C
2 v21
例2：
X3
X4 + x2 + 1 dX
与例1类似，我们有：
fj
=
dx
1益
1 一4
_ 1 f d(x4 + x2 + 1) 1
4 J x4 +x2 + 1 4
X4 +X2 + 1
d (x2 + 7)
————型一后面套公式就好啦
2 1? 2 x +?) +
例3：
dx
1 + sin2x dx
co