不定积分典型例题.doc

不定积分典型例题.doc不定积分典型例题
一、直接积分法
H接积分法是利用基木积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时 往往需对被积甫数进行简单恒等变形，使之逐项能用某本积分公式.
例 1、求 f (1 - A) Jx石dx
3 原式=J(F
例趴求佚扑
解 原式=j(e2x - ex 4- l)t£v = je2x - ex + x+C
例 3、求[,1 dx
J sur xcos- x
解 原式 =(血 f+c。] ' dx = [—— dx+[ ——dx = tanx-coxx+C J sin・xcos・x J cos~ x J sin* x
例4、 Jc呻
原式
h" 才亠 r 1 + cosx . x+sinx 小 解原式
)dx = x-aictan x + C
1 + x"
注，本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.
二、第一类换元积分法(凑微分法)
r 凑成『
“(x)厶訂 ggx)]0(x)dx
令ea戶“ e 求岀 连甌
=Jg(")d" =G(”) + C -G[(p(x)]+C
在上述过程屮，关键的一步是从被积函数/(小屮选取适当的部分作为
0(x),与办一起凑成卩(x)的微分d(p(x) = d"且Jg(u)du易求.
例 1、求
J Jcosx
解原式=[S17Y rfr = J COSXa/COSX
-d cos x cos xjcosx
例2、求J护gdx
J a/x-jt
解原式訂平£・士厶訂护酉(石)
Jl-X y/x ^l-(Vx)2
=2| arcsmVxJ(arcsm仮)=(arcsin Jx)2 + C
dx=2d(Jx)
例沢求J；&d”
解原式品(“)
2
岭)
1 • 2 —arcsm—x+ 2 3
扌E+c
例4、求J叫k•侖山
原式=j tan y/l + x2d yji
+ x2 = -111 I cos71 + x： I +C
二+丄(亍_1卢+ c
3 3
例6、求［ dx
J 1 +tanx
解原式=J
cosx
Sill X+COS X
dx = *J(l +
cosx-sinx cos Sill x
)dx
1
—x+
2
f d (cos x+sm x)
J COS X +Sill X
= *(x + ln|c
osx + sinx
|) + C
例 7、求［— In •^上 dx
J 1-x* 1-x
b" K亠 1 Cl 1 + X Jzi 1 + X、 1. J + x 小
解 原式=—In——d(ln ) = _lir——+C
2} 1-x 1-x 4 1-x
例 8、求 \-^—dx
J K +1
解 原式=J ~ = J厶_J］ f dx
占 d(l + e，
x-ln(l + ex) + C
解原式=曲=
d(ex) = aictane' + C
1 + 0)'
例 f sm Y dx
」1 + sinx
解 原式=[(1 ——)dx= \dx- [-_^^clx
J 1 + sinx 」 」cos" x
=x- [——dx+ f SU\'V dx = x- tanx + secx+ C J COS' X J COS' X
dx
-31nx
-丄
解原式=J(2-31n X)X)
=j(2-31n x)1 (-丄)d(2-31iix) = -- •—p— (2-3 In xy + C
3 3 -1+1
2
-V2-31nx ♦ C
例 12、求 J~—— dx
解原式“幵忌如吋制話石烷呦
b
=—arctan(^- tan x) + C ah h
例】3、求J沖
解原式彳斗戶心霁孑心吾〃
=aictan x+- arctan x3 + C
3
例4求『詁町去
解原式=J
[+ x3~ f dx=\丄厶一｛
x(l + xs) J 兀 J
TT7rfv = ln|x|-Iln(1+/)+c
例 15、求[3x~2 dx
J AT -4x+5
解原式=屮j + 5)+町十丄j.
2J %• -4x+5 J.「-4x + 5
d(—2) d+l
=—ln|x2-+5|+4