不定积分解题方法及技巧总结.doc

不定积分解题方法及技巧总结.docJ不定积分解题方法总结
摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分 重要。然而在学****过程中发现不定积分不像微分那样直观和"有章可循”。本文 论述了笔者在学****过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
关键词：不定积分：总结；解题方法
不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总 结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。
1•利用基本公式。(这就不多说了~)
第一类换元法。(凑微分)
设f(U)具有原函数F( P)o则
J (p\x}dx = j f[(p(x)]cl(p(x) = F[(p(.x)]+C
其中0(x)可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：
例1：严1)-叫
」x(x + \)
【解】On(A + l)-lnxy = 一一 = 一
x + 1 x x(x + l)
I* -dx = -J*(ln(x +1) — In x)t/(ln(x +l)-lii x) =-—(ln(x + l)-ln x)2 +C
x(x 1) 2
/ril 小 r 1 + Inx .
例 2： I dx
J (xlnx)2
【解】(xlnQ=l + lnx
f 1 + 1心心=「川「[一丄+c
」x(x +1)・ J (x In xy x 111 x
第二类换元法：
设x =(p(t)是单调、可导的函数，并且0«)工0・又设/[0(/)]0(f)具有原函数，
则有换元公式
J f(x)dx =“ 做)]0(M
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下儿种：
x = asint； x = acost
x = asht
Vx ・-6
= arcsin x + c
6
(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用广代去根号。 j sin 4xdxt = 7^2 j t sin tdt = - 2(? cos? - J cos tdt) =-2t cos? + 2 sin t + f 二 -2長 cos77 + 2sin長 + C
但当根号内出现高次幕时可能保留根号,
+a2： x = "tan/： x = acott；
(3)J〒 - a2： x = asect： x = acsct；
ax + b iax + b
⑹当被积函数含有r •蚁d+加+ c,
有时倒代换丫 = 1也奏效。
（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用£代去根号。
| sin 4xdxt = 4x2^ t sin tdt = - 2(f cost - j cos tdt) =-2t cos r + 2 sin 广 + C 二 -2長 cos 77 + 2 sin y[x + C
但当根号内出现高次幕时可能保留根号,
1
dt
=--J , x 2 1 i r
6J匸庐
1 ・-6
=_ — arcsm x + c
6
分部积分法.
公式：| jLldv = //v-j jLklv
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取“、1/时，通常基于以下两点考虑:
（1） 降低多项式部分的系数
（2） 简化被积函数的类型 举两个例子吧~!
例3：
x ・ arc c OSA-.
——, dx
yl\-X—x — x — (a*~ + 2)v 1 — x* arccosx + C
【解】观察被积函数，选取变换7 = arcco&r,则
e x arccosx .
—/ cix =
J VT7
「cos f = [-/cos9 3 3
tdt =
J sin/ 」
jr(sin7-l)t/ siiir = Jf〃(丄 sin" f-sinf)=
1・3・ C/1
-/sin -rsmr-(- 3 J 3
1・3・,
-rsin -rsmr+
3
1・3・ 2 1 < 厂
-rsin -rsin/-—cos/-—cos' t + C =
|(^-sin2 r-l)6/cos/ =
例4：
arc sin2 xdx
3 3 9
【解】
[arcs in2 xdx = xsin2 x- f x2 arcs in x dx
xarcsinx +
j 2 arcs inxd Jl-F
xarcsinx + 2vl-x2 arcsinx- fVl-x