不等式中函数与方程思想的应用.doc

不等式中函数与方程思想的应用.doc不等式中函数与方程思想的应用
函数思想与方程思想是一种解题观念，其运用范围并不局限于函数 (方程)问
题，它们具有广泛的联系性与渗透性，常迁移到不等式中 ，运用函数思想解题
具体表现在：把不等式、方程等问题转化为函数问题简捷求解；运用方程思想解 题主要表现在：用方程思想建立(或确定)不等关系；下面给出一些“函数与方 程思想”在不等式中的灵活运用的实例.
例1已知不等式|x - 2| + |x - 5| < a 有解，求a的取值范围.
2x+7(x"),
解 设 f(x)=|x-2|+|x-5|= «3(2vx 兰 5), g(x)=a
、2x -7(x >5)
同一直角坐标系中画出两函数图像(如图)•
函数f(x)的最小值为3,要使原不等式有解，必须且只须
3，即所求a的范围为(3，+x).
点拨 本例是运用函数思想解决的非函数问题，要熟练运用函数思想解需 对相关知识的本质与函数的关系认识清楚，同时对相应函数的性质要熟悉 •
例2 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c与一次函数g(x)=-bx，其中a、b、c
满足a>c，a+b+c = 0(a、b、c€ R). (1) 求证：两函数图像交于不同的两
点A、B; (2) 求线段AB在x轴上的射影之长的取值范围•
分析 前者即为方程组解的情况；后者可将£區|表为a、b、c的函数从 而化为函数的值域问题.
证明(1) v a>0, a>c，.°. 3c<a+b+c=0,即 c< a>0,由方程组
产 2
y = ax +bx +c 2 小 金
丿 =ax +2bx+c=0 ,,,,,,,,,,,, ①
j = -bx
•••△ =4(b2-ac)>0 ( vac<0),二方程① 的解，亦即两函数图像交于不同的两点 A、B.
解(2)设方程①的两根为X1、X2由违达定理知X1+X2=-型，X1・X2=£，故
a a
2 2
2 2
|A1Bs|=(x 1-x 2) = (x 1+X2) -4x 1X2=4 •
b ；ac=4・ (a+c、_ac=4[(c)2 +(£)”]. a2 a2 a a
设 t= |A1R| 2=4(t 2+t+1)=4[(t+ a
丄)2+3
2 4
],
a +b + c = 0
n -2
_a a b a c
即-2<t<-丄，此时|A1B2| 2为t €(-2,- 1)上的减函数,故3v|A1B|2<
2 2
|AB|的取值范围是(.3 ,2 ).
点拨 本题涉及到一、二次函数的图像，一元二次方程，解不等式，二次 函数在区间上取值范围等多个知识点•由于二次函数问题是中学数学的核心问 题之一，是考查学生逻辑思能力的重要题材，也是高考的热点问题，故须熟练 掌握二次函数(图像)与方程、不等式间的互联系与转化.
例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的
价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3元，购买面粉每次需
支付运费900元.(1) 求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支 付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210吨
时，其价格可享