函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)
i、奇偶性：(i)奇函数关于(0, 0)对称，奇函数有关系式f (x) f( x) 0
f( x) f(x)
(2)偶函数关于y (即x=0)轴对称，偶函数有关系式
2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性
(i)函数的轴对称：
函数y f(x)关于x a对称
f (a
x) f (a
x)
f (a x) f (a x)也可以写成
f(x)
f (2a x)
f( x)
f (2a x)
若写成：
f (a x) f(b
则函数
f(x)
关于直线
(a x) (b x) x
(x1, yj 在 y f (x)上
通过f (x)
f (2a x)可知，
yi
f (xi) f (2a xi),即点(2a x〔，yi)也在 y f(x)上，而点
(xi,yi)与点(2a xi, yi)关于x=a对称。得证。
说明：关于x
a对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。
(a "，火)与(a x1，y1)关于x
a对称，，函数
f (x)关于x
a对称
f (a x) f (a x)
, (xi, yi)与(2a xi, yi)关于 x
a对称，，函数
f (x)关于x
a对称
f (x) f(2a x)
(不，%)与(2a x〔，yi)关于 x
a对称,
f(x)关于x
a对称
f ( x) f (2a x)
(2)函数的点对称:
函数y f (x)关于点(a,b)对称
f (a x)
f (a
x)
2b
上述关系也可以写成 f(2a x) f ( x) 2b
或 f (2a
x) f(x)
2b
若写成：f(a x) f(b x) c,函数y f (x)关于点Ca—b,W)对称
2 2
证明：设点 (x1 , y1 ) 在 y f (x) 上，即 y1 f (x1) ，通过 f (2a x) f (x) 2b
可知， f(2a x1) f(x1) 2b ，所以 f(2a x1) 2b f(x1) 2b y1 ，所以点
(2a Xi,2b y1)也在 y f(x)上，而点(2a x1,2b y1)与(x[，y1)关于(a,b)对称
得证。
说 明 : 关于 点 (a,b) 对称要求 横坐 标之和 为 2a , 纵 坐标之和为 2b , 如
(a x)与(a x)之和为2a。
(3)函数y f(x)关于点y b对称：假设函数关于y b对称，即关于任一个x
值， 都有两个 y 值与其对应， 显然这不符合函数的定义， 故函数自身不可能关于
y b 对称。但在曲线 c(x,y)=0 ，则有可能会出现关于 y b 对称，比如圆
c(x, y) x2 y2 4 0它会关于 y=0 对称。
( 4)复合函数的奇偶性的性质定理：
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数，则f[g( —x)] =f[g(x)]。
复合函数 y = f[g(x)]为奇函数，则 f[g( —x)] = —f[g(x)]。
性质2、复合函数y=f(x +a)为偶函数，则f(x +a)=f( —