华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案.docx

第11章（之1）（总第59次）
教材内容：多元函数
：
* （1）.函数/（北丁）= 111（一 + /一1）连续区域是 答：x f(x,y) = ln(l +孙);
解：｛（x,y）b>—i｝，第二象限双曲线孙=一1的上方，第四象限双曲线仆=一1的下方（不 包括边界，双曲线方，=-1用虚线表示）.
+y2>\
* (2).函数 /(羽)，)=J J/ +y2
0 x2 +y2 =0
（B）处处有极限，但不连续
（D）除（0,0）点外处处连续
（A）处处连续
（C）仅在（0,0）点连续
答：（A）
*:
解：定义域为：L,,W屋x｝,见图示阴影部分:
解：^>0<^>
x+ y
［（工一），心+）8。［忖耳］ x+y^O
***/ x+y,二
=/一卡的函数/(《)，).
x =
1 + z
st
v =
1 + r
“)=5=廿
***4・求极限： lim 、， —
(工 ) / 2 2
M)
2 2
** :一)；不存在.
()尸+y2
解：我们证明(x,y)沿不同的路径趋于(0,0)时，极限不同.
首先，x = 0时，极限为liin
A=0
>) .
4=1, 厂
2 2
其次，)，=0时，极限为lim 二一二
>,=0 广 + 丫- (x./)x 十)
故极％第。m港不存在.
**/(x,)，)=T^_,试问极限liin /(x,y)是否存在？为什么？ “y + 1-l agoe
解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在(。,0)点的任一去心邻域内函数
/(X,y)=W^_并不总有定义的，X轴与y轴上的点处函数/(X,y)就没有定义. yjxy + i -1
**7,试讨论函数z = arctan«^匕的连续性. 1 -xy
解：由于arctan士』是初等函数，所以除“ =1以外的点都连续，但在xv=l上的点处 xy
不连续.
*〃x,y) = 一；一-一；一 的间断点. sin- to: + sin" Tty
解：显然当(x,y) = (〃?/?)机,时，/(x,y)没定义，故不连续.
又/(x,y)=—；一-一；—是初等函数.
sin- G + sin- ny
所以除点(〃?,〃)(其中〃7,〃eZ)以外处处连续.
第11章(之2)(总第60次)
教材内容：§ 11. 2偏导数[§ 11. 2. 1]
*:
(1)函数/(x, y)= 而田『在(0,0)点处 ( )
(A) /；(0,0)和 /；(0,0)都存在： (B) /；(0,0)和 /；(0,0)都不存在：
(C) /：(0,0)存在，但(0,0)不存在:(D)力(0,0)不存在，但(0,0)存在.
答：(D).
(2)设z = x + (y — 2)arcsin !—,那么二 \ y 叭⑵
兀 兀
(A)0 ： (B) 1； (C) -； (D)
2 4
答：(D).
(3)设/(x,y)=洞，则/」(0,0)=. //(0,。)=
解：由于/(x,0) = 0,八'(00) = 0,同理 /「(0,0) = 0.
*+ + 中，求 j,Zy.
解：Zr = 1 + —； + 3)'e，' , zx = —2 + ——+ 3xe"' ・
+ y" ・ x" + y-
* = arctan）对各自变量的偏导数. x
解：zr =--」~r，zv =「一
厂+厂 厂+）广
0 ％. ln（x- +）广） 工一 十）广 W 0
*。. /二 =。，求〃。，。）/（。。）.
解：fx (0,0) = lim -~~= 0， /； (0,。) = lim = 0.
XT。 X .V—0 y
**,；二；一刈十厂在（1JJ）点处切线与y轴的夹角. .
解：由于曲线在平而x = 1内，故由 z、, a# = （—x + 2y，（［ I）= 1,
得切线与y轴的夹角为arctanl=? .［也可求出切向量为{0』,1}］
.十功 {04,} V2 万
• •天用二auccos \ ' ± =arccos——=・
Ji12 4
***（x,y）在点（0,0）连续，已知函数/*,y） = k-jM（x,y）在点（0,0）偏导数
/：（0,0）存在，
（1）证明以0。） = 0： （2）证明/；（0,0）也一定存在.
解：⑴姑/3，。）八。。）=.M。3,0）, *