关于用导数处理的数列型不等式集锦.doc

所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
::构造函数后即可证明
: 解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝）和任意正整数，总有 2；
(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.
（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时，， 解得=1
∴.()
（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.
∴

(Ⅲ)解：由已知 ，

易得　
猜想 n≥2 时，是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, .
又 , ∴数列中的最大项为.
10. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，

即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
11．已知函数若
解析:设函数

∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而

即
令则

12． 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数； (II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以

两式相加后可以得到
(3)
……

相加后可以得到:
所以
令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
13．定义 如果内存在二阶导数则
(1) 若对则函数在内为凸函数.
(2) 若对则函数在内为凹函数.
若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)不等式
等号当且仅当时成立.
证明下列不等式
.
分析 上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,,,同理可得.