关于电梯系统优化问题的数学模型.docx

开电梯，电梯停留时间受离开人数的影响可以忽略不计。
乘客的到达形成泊松流。
商务楼工作人员均匀分布在地上2层到28层的每一层，即电梯乘客在每一层下电梯的概率相等。
在上班高峰期无人下电梯，在下班高峰期无人上电梯。
使用每层地下停车楼的人数相等。
三 符号及名词说明
输入层： 有需要乘电梯的人流入的楼层。
目标层： 乘客想要到达的楼层。
服务： 在上班高峰期电梯由输入层出发到载完13个人回到输入层称为一次服务。
αk=(p,q)T： 第k个电梯或电梯井道的运行区间，即被限制只能从p层运行到q层。
A =(α1,α2,α3,α4,α5,α6)：高峰期电梯系统运行的一种安排方案。
bk： 第k个电梯在无乘梯需求是停留的楼层。
β=(b1,b2,…bm)T： m个电梯在非高峰期的一种运行方案，m=6或12。
f(A)： 安排方案A下乘客等待时间的期望。
f(β) ： 安排方案β下乘客等待时间的期望。
W(αk) ： 乘坐第k个电梯的乘客等待时间的期望。
λ，Λ：乘客形成的泊松流的强度。
t(p,q)： 电梯从p层运行到q层所用的时间
t0： 电梯在每层停留的时间。
t(αk) ： 在高峰期第k个电梯完成一次服务所用的时间。
ω1： 使用地下停车楼的人数比例。
ω2： 不使用地下停车楼的人数比例。
N(αk) ： 第k个电梯一次服务中所能运行到的最高层。
P(n) ： 在上班高峰期电梯在一次服务中停留n次的概率。
四 问题分析
本题是对电梯系统的优化问题，优化的标准就是找到一种方案A使所有乘客等待时间的期望f(A)最小。这里为了叙述方便，将地下1层、2层分别记为 -1层、-2层，地上1层、2层、…28层分别记为0层、1层、…27层。
我们发现，不管是单轿厢电梯系统，还是双轿厢电梯系统，在上班高峰期，0层、-1层和-2层为输入层，1层至27层为目标层，在下班高峰期，1层至27层为输入层，0层、-1层和-2层为目标层，也就是说，在高峰期，输入层和目标层分别有所集中；而在非高峰期，输入层和目标层都是随机分散的。所以，为了合理优化电梯系统的效率，应把这两种时期分开考虑。


上班高峰期的输入层为0，-1，-2层，则电梯的初始位置只能集中分布在这三层。目标层越大，电梯需要上升的高度就越高，一次服务的时间就会越多。由于乘客想要到达的目标层是随机的，因而一次服务中只要有人的目标层较大，相应电梯的等待人群需要等待的时间就越多，而一些目标层较低的乘客同样需要等待这样的时间，可以理解为高目标层乘客占用了低目标层乘客的“资源”。这就造成了等待时间的增加。所以我们提出一种电梯区间的思想，即在上班高峰期将每个电梯所能运行的范围加以限制，同时令目标层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样目标层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待的时间就会有所降低，而目标层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。
在这种情况下，单轿厢电梯系统和双轿厢电梯系统的模型一致，考虑到这一过程符合排队过程的特点，可以将其简化为排队模型，并编程求得最优解。

下班高峰期的输入层为1层至27层，目标层为0，-1，-2层，电梯的初始位置无法集中。输入层越高，电梯需要运行到很低的目标层再回到输入层，经过的楼层数越多，所用的时间也就越多。因而只要高输入层的乘客有乘梯需求，那么低输入层的乘客就会大大增加，可以理解为高输入层乘客占用了低输入层乘客的“资源”。，利用电梯区间将下班高峰期电梯的运行范围加以限制，同时令输入层不同的乘客乘坐不同区间的电梯，这样输入层较低的乘客乘坐区间较小的电梯，等待时间就会有所降低，而输入层较高的乘客乘坐区间较大的电梯，等待时间影响不大。
在这种情况下，单轿厢电梯系统每个输入层都符合排队过程的特点，可将其简化为排队模型；

非高峰期的输入层和目标层都是随机分散的，且人流量小，因而不同于高峰期的分析。对于每个单轿厢电梯和双轿厢电梯，其初始位置应在-2层至27层之间，在某一时刻，有人需乘电梯，则他在1层至27层的概率相等，只需简化为安排6个单轿厢电梯或者12个双轿厢电梯的初始位置，使乘客等待电梯的时间期望尽可能小即可。这一模型可以通过编程完成。
五 模型的建立与求解
单轿厢电梯系统的求解

对于上班高峰期，每个输入层都要有一个区间从本层到27层的电梯以保证乘客能到达任何目标层，