§13、14概率论与数理统计教程.ppt

§ 概率的性质
概率的定义
就称P为F上的概率测度,简称为概率,称(,F,P)为概率空间.
P(φ)=0.
注意: 逆不一定成立.
(有限可加性)
若AB=φ,则
P(AB) = P(A)+P(B).
可推广到 n 个互不相容事件.
(对立事件公式)
P( )=1P(A).
概率的可加性
(1) Φ=Φ+Φ+ Φ+…
P(Φ)= P(Φ+Φ+ Φ+…)= P(Φ) +P (Φ)+P (Φ)+… (公理3可列可加性)
P (Φ)=P (Φ)+ P (Φ)+…,故P (Φ)=0
(2) A1 + A2 + …+ An = A1 + A2 + …+ An + Φ+ Φ+…
P(A1 + A2 + …+ An )= P(A1 + A2 + …+ An + Φ+ Φ+…)
= P(A1) + P( A2) + …+ P(An ) + P(Φ) + P(Φ) + …
故P(ΣAi)= ΣP(Ai) (i=1,2,…,n).
(3) A1,A2,…,An, …构成一个完备事件组,即它们互不相容,且ΣAi= Ω. 所以,ΣP(Ai) = P(ΣAi)= P(Ω)= 1.
概率性质的证明

若AB,则 P(AB) = P(A)P(B);
若AB,则 P(A)  P(B).
P(AB) = P(A)P(AB).
概率的单调性
(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB)
P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)
P(AB)P(AC)P(BC)
+P(ABC)
概率的加法公式
B
(4)
A
概率性质的证明
(4):思路:将B化为两个互不相容事件的和后,用性质2.
① B= (B - A )+ A, 且B - A与A互不相容,
P (B)= P(B - A ) + P(A) .
P(B-A)=P(B)-P(A)
②再由非负性公理, P(B - A ) ≥ 0,可得P(B)≥P(A) .
(6):思路:利用两个互不相容事件和的公式
A+B=A+(B-AB)(利用图形直观理解!)
P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
A
B
(5)
AB=φ,P(A)=,P(AB)=,
求 B 的对立事件的概率。
解:由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)

得 P(B) = P(AB)P(A) =  = ,
所以 P( ) = 1 = .

解:因为 P(AB) = P(A)P(AB) ,所以先求 P(AB)
由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB)
= +=
所以 P(AB) = P(A)P(AB) =
P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 求 P(AB).