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数模培训_图论模型2012图 论 模 型
数学建模培训
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图论模型
图论基本概念
最短路径算法
最小生成树算法
遍历性问题
5. 网络流问题
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1 引言
图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来。问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
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当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
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我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）
一名货车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。
例2 公路连接问题
某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小？
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例3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务， 每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。 如何分配工作方案可以使总回报最大？
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上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络（network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。
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图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点, 简称点;
② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为有限图或n阶图.
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如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如图1); 如果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图(如图2); 否则, 称G为混合图.
图
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图
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并且常记
V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ;
E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的始点和终点. 该图称为(n,m)图
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