二次函数根的分布和最值.doc

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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2 bx c 0 a 0的不等两根为x1, x2且为x2，相应的二次函数为
f x ax2 bx c 0，方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况
见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
分布情况
O
O
厂 uX2 艮 一 O -^0X1 ®-于 O 正 小
大致图 象< 、」
得出的 ——结论
大致图象
O
、 7
得出的结论
综合结昨不讨论
a 1
、 7
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
a
a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情 况 .
HP TTT, k
HP TTT, k
HP
TTT,
k
*7 k
O 大致图象< >
a
得出的结论
O 大致图象< >
a
得出的结论
综合结并不讨论
a
、丿
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
内
n
n 了
m,画
只
梯 縣和 两 内 {一
根 q 号 P 』 n 内
n m m,
在切 根 小 一 P
O 大致图象< >
a
得出的结论
f m 0
fn Off mfn 0 或
f p 0 f p f q 0
f q 0
O 大致图象< >
a
得出的结论
f m 0
f n 0 或 f m f n 0
f p 0 f p f q 0
f q 0
综合结论—不讨论
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
m,n夕卜，即在区间两侧
X! m,X2 n，(图形分别如下)需满足的条件是
(1) a 0 时,
f m 0 .
；(2)a 0 时,
f n 0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在 m,n内有以下特殊情况:
1若f m 0或f n 0，则此时f m gf n 0不成立，但对于这种情况是知道了方
程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n内，从而
可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0在区间1,3上有一根，因为f 1 0，
所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为—，由1 - 3得-m 2即为所求；
m m 3
2方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n内，即 0，此时由 0可以求出参
数的值，然后再将参数的值带入方程， 求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，
如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0内，
求m的取值范围。分析：①由f 3gf 0 0即14m 15 m 3 0得出3 m 15 ；
14
3
②由 0即16m2 4 2m 6 0得出m 1或m -，当m 1时，根x 2 3,0 ，
即m 1满足题意；当
15
得出 3 m 一或m
14
di
m
3
3,0，故m -不满足题意；综上分析,
根的分布练****题
例1、已知二次方程
2
2m 1 x 2mx m 1
0有一正根和一负根，求实数 m的取值
范围。
1
解：由2m 1 gf 0 0即2m 1 m 1 0，从而得 -m 1即为所求的范围
2
例2、已知方程2x2 m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围
解：由
0 m 3 2 2或m 3 2 2即为所求的范围。
例3、已知二次函数y m 2 x2 2m
1, 一个小于1,求实数m的取值范围。
解：由 m 2 gf 1 0即 m 2 g2m 1
例4、已知二次方程mx2 2m 3 x 4
4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于
0 2 m -即为所求的范围。
2
0只有一个正根且这个根小于 1，求实数m
的取值范围
由题意有方程在区间
0,1上只有一个正根，
f 0 g