双曲线的简单几何性质导学案精编版.docx

222双曲线的简单几何性质
学****目标：
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实 轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对 a、b、c、
e的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学****重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学****难点】渐近线方程的导出。
知识回顾
1'双曲线的定义：
2、双曲线的标准方程：
3、回想椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
学****过程
一、双曲线的几何性质
（一）试一试
类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程
2 2笃-每=1,（20上 0），研究它的几何性质。
①范围：山双曲线的标准方程可得： J = 从
b
而得x的范围： ;即双曲线在不等式 和
2
所表示的区域内。4二 从而得y的范
a
围为 O
②对称性：以-X代x,方程不变，这说明
所以双曲线关于 对称。同
代X，且以-y代y，方程也不变，得双曲线关于 对称。
a b
2 22
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程 笃-与二1里，令y=。,得x=得到
a b
双曲线的顶点坐标为 A（）A（）；我们把Bi（）B2 （）
也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分
别为。 ④离心率：双曲线的离心率 e= '范围为
理,以・y代y，方程不变得双曲线关于
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度， 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?
探究：在学****椭圆时，以原点为中心，
2a、2b为邻边的矩形，对于估计
椭圆的形武画出襦
=1, a b
仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？ 当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
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双曲线 二一=7的渐近线方程为，双曲线各支向外延伸时，与它的渐 a b
近线 , 。
（二）想一想
Xy2 x y2
1'根据上述五个性质，画出椭圆 1与双曲线 1的图象。
16 9 169
探究案：
y轴时的几何性质，完成下表。
1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在
标准方程
2 2
\ -==1 (a>0,b>0 ) a2 b2
2 2
4-2L = 1 (a>0,b>0) a2 b2
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
2）等轴双曲线定义及性质是什么?
3）探究共渐近线的双曲线系？
二、例题讲解
（一）已知双曲线方程研究几何性质
例1求双曲线9y2 —16x2 =144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、
渐进线方程
练****1） ： x2 -8y2 =32的实轴长 虚轴长 顶点坐标
焦点坐标 离心率
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（2） x・y二-4的实轴长为 虚轴长 顶点坐标
焦点坐标 离心率
拓展提升
2
-y2 = 1的渐近线方程为：
X2 2 A 、
y 1的渐近线方程为：
4
为：
思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？