数值计算B大作业.docx

数值计算B大作业.docx课
程设计
课程名称：
数值计算B
设计题目：
数值计算B大作业
学 号：
姓 名：
完成时间：
题目一:多项式插值
某气象观测站在8:00 (AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数
(Newton)逼近如下曲线，插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。
X
1
2
3
4
5
6
7
8
y
22、5
23、3
24、4
21、70
25、2
28、5
24、8
25、4
二' 数学原理
假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x°,yo),……(xn)yn )，插值多项式有如
下形式：
Pn(x) = a0 + cr/x - x0) + tz2(x - x0)(x-X]) + + «n(x - x0) (x-x】) (x-xn) (1)
根据均差的定义，把X瞧成[a, b]上的一点，可得
f (x)= f (x0)+f[x0, xj (x-x0)
f [x, x0 ]= f [x0, x』+f[x, x0, xj (x-x,)
f[x, x0, •••xn4]= f [x, Xo,…X」+f[x, x°, .“Xn ](X_X”)
综合以上式子，把后一式代入前一式,可得到：
f(x)= f[x0]+f[x0, xj (x-x0)+ f[x0, Xi，x2] (x-x0) (x-xt) +
•••+ f [x, x0, ---xj (x-x0) ••• (x-)+ f [x, x0, ---X^ x] «n+1(x)= Nn (x) + 7?n(x)
其中
Nn (x)= f [x0 ]+f [x0, xj (x-x0)+ f [x0, X], x2] (x-x0) (x-xt) +
…+ f[x, X。，…Xn ] (x - X。)…(x-xj (2)
7?n(x)= f(x)- Nn (x)= f[x, Xo,…Xn, x] ©n+i(x) (3)
0n+i(X)= (x-Xo)…(X-X n )
Newton插值的系数％ (i=0, 1, 2 n)可以用差商表示。一般有
ak = f [x0, X] xk] (k=0, 1, 2, , n ) (4)
把⑷代入⑴得到满足插值条件Nn(x;) = f (x;) (i=0, 1, 2, n)的n次Newton插值多项
式
N n (x) =f( x0 )+f[ Xo，X] ] ( X-X] )+f[ x0, X], x2 ] ( X -Xj ) ( X -x2 )+
+f [x0，Xj xj(x -X])(X -X2)…(x-xj、
其中插值余项为:
n+1
Rn(x) = f(x)-N(x) = £^^,(x)
『介于X。，X] Xk之间。
三、程序设计
function [y, A, C, L]=newdscg (X, Y, x, M)
% y为对应x的值,A为差商表,C为多项式系数,L为多项式
% X为给定节点,Y为节点值,x为待求节点
n=length(X) ; m=length(x) ; % n 为 X 的长度
for t二l:m
z=x(t) ; A=zeros (n, n) ;A(:, 1)二Y';
s二0、 0; p二1、 0; ql二1、 0; cl=l> 0;
for j=2:n
for i=j:n
A(i, j) = (A(i, j-1)- A(i-1, j-l))/(X(i)-X(i-j+l)); end
ql=abs(ql*(z~X(j-1)));cl二cl*j;
end
C=A(n, n);ql=abs(ql*(z~X(n)));
for k= (n~l)：-l:1
C=conv (C, poly (X (k))); d=length (C) ; C (d) =C (d) +A (k, k); end
y(k)= polyval(C, z) : %输出 y 值
end
L(k, :)=poly2sym(C) ; %输出多项式
» syms M, X=[l, 3, 5, 7] ;Y=[22, 5,24、4,25、2,24、8] ;x=10;
»
[y, A, C, L]
=newdscg (X, Y,
x, M)
y
=
21、
7313
A
=
22、
5000
0
0
0
24、
4000
0、 9500
0
0
25、
2000
0、 4000
-0、
1375
0
24、