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一题多解突破无棱二面角的求法
D
∵AF∥CE，AF⊥平面ABC，∴CE⊥平面ABC，又EB⊥AB, 由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，∵AF=1，且A为CM中点。在△MBO中，MO=3，OB=，所以MB==2，Rt△MAH∽Rt△MBO,所以=，即AH===。在△FAH中，tan∠FH A===，所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。
此答案是最常用的找另一个公共点做棱，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角。因为题设条件中面EFB与面ABC有一个公共点B，根据公理2，它们还有其他的公共点，且公共点的集合是一条直线。又因为除共点B外，面EFB内的点E、点F与面ABC内的点A、点B同在平面ACEF内，且直线AC与直线EF不平行，由公理3的推论可知，它们一定相交，因此找到面EFB与面ABC的另一个公共点M，得到棱BM，所以才有了以上的解题的思路与过程。
此题（2）还可以用其它方法来解决。
求无棱二面角的关键是作出棱，根据面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。把其中的一个半平面平移，与另一个半平面相交，交线即棱。
Ⅰ 平移半平面EFB，如图3
B
A
C
E
O
P
R
Q
G
图3
F
解析：
在平面ABC内过点B作直线B P，使B P∥AC ，且B P= AC ，连接C P 。取CE中点Q，连接FQ，P Q，则FQ∥B P，且FQ= B P。故四边形F B PQ为平行四边形，∴ F B∥Q P。取BC中点R，连接QR，则QR∥BE，故面QR P∥面EFB，所以面QR P与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面QR P∩面ABC=R P，过点C作直线C G⊥R P，垂足为G，连接Q G。
∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得Q G⊥R P，因此
∠Q GC为面QR P与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。
∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，由以上证明可得：在△RC P中，∠RC P=∠ABC=，CR=BC=1，C P= AB=2，∴R P=
==，C G=，在Rt△Q C G中，tan∠Q GC===，∴∠Q GC=arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。
Ⅱ 平移半平面ABC，如图4
C
图4
O
Q
N
E
A
F
B
W

解析：
取CE中点Q，连接FQ，取BE中点N，连接FN，NQ，则FQ∥AC，NQ∥BC，∴面FNQ∥面ABC，故∴面FNQ与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面FNQ∩面ABC= FN，过点Q作Q W⊥FN，垂足为W，连接E W。
∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得E W⊥FN，因此
∠E WQ为面FNQ与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。
∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，由以上证明可得：在△FNQ中，FQ= AC=2，NQ=BC=1，∠FQN=∠ACB=，由余弦定理得：FN===，由面积相等得：×FQQNsin=×FNQ W，即：×2×1×=×Q W，∴Q W=。
在Rt△E WQ中，tan∠E WQ===，∴∠E WQ= arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。
此题还可以用空间向量来完成，利用法向量求二面角，理由如下：
设,分别是二面角α—l—β的两个半平面α、β的法向量，则二面角α—l—β的平面角大小θ＝〈或θ＝π－。当,同时指向二面角内侧或外侧时，θ＝π－，如图５。当,分别指向二面角的内侧与外侧时，θ＝，如图６。
β
α
l
〈，〉
θ
A
B
如图５
β
α
l
〈，〉
θ
A
B
如图５
β
α
l
B
A
θ
如图６
解析：由（1）知，OB⊥平面ACEF，故以O为原点，建立空间坐标系O—xyz如图７
C
图7
E
F
O
B
A
x
y