三角、反三角函数图像及性质与三角公式
D
反三角函数的图像和性质:
arcsinx arccosx
arctanx arccotx
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
y=sinx(x∈〔-, 〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsiny
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosy
y=tanx(x∈(- , )的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于[-,]
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于[0,π],且余弦值等于x的角
arctanx表示属于(-,),且正切值等于x的角
arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角
性质
定义域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
[-,]
[0,π]
(-,)
(0,π)
单调性
在〔-1,1〕上是增函数
在[-1,1]上是减函数
在(-∞,+∞)上是增数
在(-∞,+∞)上是减函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
周期性
都不是周期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1])arcsin(sinx)=x(x∈[-,])
cos(arccosx)=x(x∈[-1,1]) arccos(cosx)=x(x∈[0,π])
tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x(x∈(-,))
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx=(x∈[-1,1])
arctanx+arccotx=(X∈R)
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x
x∈[0,π] arccos(cosx)=x
x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x
x∈(0, π) arccot(cotx)=x
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