主成分分析方法在主成分分析方法中的应用.docx

主成分分析与因子分析及SPＳＳ实现(一):原理与方法
  (201４-０9－０８ 13:33:57)
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一、主成分分析
（１)问题提出
在问题研究中,为了不遗漏和准确起见，往往会面面俱到,取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素,我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析,不仅会使模型变得复杂不稳定,而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩,减少变量的个数,同时消除多重共线性？
这时,主成分分析隆重登场。
(2)主成分分析的原理
主成分分析的本质是坐标的旋转变换，将原始的n个变量进行重新的线性组合,生成n个新的变量,他们之间互不相关，称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则,保证第一个成分的方差最大,然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的,其中前ｍ个成分可能就包含了原始变量的大部分方差（及变异信息)。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”，他们包含了原始变量的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量,而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量Ｘ1、X２，在坐标上画出散点图如下:
可见，他们之间存在相关关系，如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°,变成新的坐标系Ｙ1、Ｙ２，如下图:
根据坐标变化的原理，我们可以算出：
Ｙ1　=　sｑrt(２）／2　*　Ｘ1 ＋　ｓqｒｔ(２)／2 * X2
Ｙ２　= ｓqrt（２)/2　* X１ － sqrｔ（2）/2 *　X２
其中sqrt(x)为x的平方根。
通过对X１、Ｘ2的重新进行线性组合,得到了两个新的变量Ｙ1、Y２。
此时，Y1、Y２变得不再相关，而且Ｙ１方向变异(方差)较大,Y2方向的变异(方差)较小，这时我们可以提取Y１作为Ｘ1、X2的主成分,参与后续的统计分析,因为它携带了原始变量的大部分信息。
至此我们解决了两个问题:降维和消除共线性。
对于二维以上的数据,就不能用上面的几何图形直观的表示了，只能通过矩阵变换求解，但是本质思想是一样的。
二、因子分析
（一)原理和方法:
因子分析是主成分分析的扩展。
在主成分分析过程中，新变量是原始变量的线性组合,即将多个原始变量经过线性（坐标）变换得到新的变量。
因子分析中,是对原始变量间的内在相关结构进行分组，相关性强的分在一组,组间相关性较弱,这样各组变量代表一个基本要素（公共因子)。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解，得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征,而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量（因子)的实际意义的解释。
举个例子:
比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标(x1－x5）：味道、价格、风味、是否快餐、能量,经过因子分析,我们发现了:
ｘ1 ＝ *　ｚ1 +　 * z２ + e1
x2　= 0．９４ *　ｚ1 - * z2 +　e2
x３ = *　z1　+ 　＊ z2 + ｅ３
x４ ＝ ０．8４　＊　z1　＋ *　z2 +　e4
ｘ５ ＝ 0．97 * z1 - * z2　＋　ｅ1
（以上的数字代表实际为变量间的相关系数,值越大,相关性越大）
第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关,代表“价格与营养”
第二个公因子ｚ2主要与味道、风味有关，代表“口味”
ｅ１-5是特殊因子,是公因子中无法解释的，在分析中一般略去。
同时，我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合,用于后续分析。
(二)使用条件：
（1）样本量足够大。通常要求样本量是变量数目的5倍以上,且大于10０例。
(2)原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立,无法使用因子分析。在SPSS中可用ＫMO检验和Bartleｔt球形检验来判断。
(３)生成的公因子要有实际的意义，必要时可通过因子旋转（坐标变化)来达到。
三、主成分分析和因子分析的联系与区别
联系:两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息且互相独立,都可以用于后续的回归分析、判别分析、聚类分析等等。
区别：
(１)主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新变量,强调新变量贡献了多大比例的方差,不关心新变量是否有明确的实际意义。
（２)因子分析着重要求新变量具有实际的意义,能解释原始变量间的内在结构。
下一篇文章，将介绍主成分分析和因子分析的在SPＳS中的实现。