逆矩阵的计算.ppt

★逆矩阵的概念
★矩阵可逆的条件
★逆矩阵的求法
§3 逆 阵
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矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。
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则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。
逆阵的概念
注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。
由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的逆矩阵。
例如
因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A 也是B 的逆矩阵。
定义7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使
AB = BA = E，
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B = A -1 。
如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一的。
这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵，
则有
B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，
所以 A 的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A -1。
即若AB = BA = E，则
例如
因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即
A -1 = B
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定理1 若方阵 A 可逆，则 A 的行列式不等于 0 。
证 A 可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = E，
故 |A||A -1 |=|E| = 1，
所以|A| ≠ 0 。
矩阵可逆的条件
例如
易见AB=BA=E，
即A可逆。
此时|A| = 1≠ 0。
定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理2。
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4
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定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且
证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，
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当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非奇异阵。
B = E B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 E = A -1 。
由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充分必要条件是 |A| ≠ 0 。
推论 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。
证
因为|A| |B| = |E| ＝1，
故|A| ≠ 0，
因而 A -1存在，
于是
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注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。
例如
故A可逆。
需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。
对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。
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7
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方阵的逆阵满足下述运算规律：
证
证
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8
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其中 k 为正整数。
定义
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9
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A11= 2，A21= 6，A31=－4，
A12=－3，A22=－6，A32=5，
A13= 2，A23= 2，A33=－2，
例9
解
经计算可得：
|A| = 2 ≠0，知A可逆。
求方阵
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