山大数分试题05.doc

山大数分试题05.doc微分中值定理及应用
1微分中值定理
证明：(1)方程x3—3x + c = 0 (c是常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实 根；
(2)方程xn + px + q = 0 (〃为正整数，p,q为实数)当〃为偶数时至多有两个实 根；当〃为奇数时至多有三个实根。
设 f(.x) = xm(l-xy,m,n^正整数，xe[0,l],则存在ge(0,l)，使
m _ &
板—匚
应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
|sinx - sin y\ <\x - y\,x, y e (-oo, +oo);
< |tan』,x g(一§3)，等号成立当且仅当x = 0；
ex > 1 + 0;
J<lnL J,0<x<y;
y x x
jq
< arctanx < x,x>0.
1~\~ x
设函数在点。具有连续的二阶导数，证明
f(a + h) +Ha — h) - 2f(a) _ ■■
设lim / (x) = a ,求证：任意T > 0 ,有
XT+oo
lim[f(x + T)-f(x)] =T«.
X—>4-00
函数f (x)在[a,b]可导，其中a 2 0,证明：存在g w(a,b),使得
设在(6z,+oo)上可导，且 lim /(x) = lim/(x) = A o 求证：存在 ge(Q,+oo),
x^>a+ xtco ~
使f'《)= 0。
设f(x)可导，求证：f(x)在两零点之间'定有f(x) + f'(x)的零点.
设函数/'(x)在％附近连续，除X。点外可导，且lim f'(x) = A,求证：/(x。)存 在，且f'3o)= A.
若f(x)在［a»］可导，旦(幻，*为介于f'(a)和f")之间的任 实 数，则至少存在一点&e(a,b),使/(&) = *.
设函数f 3)在(a,幻内可导，且f(x)单调，证明f'(x)在(a»)连续.
若函数/(%), g(x)和人(X)在［a,A］连续,在(a,幻可导，证明存在g w(a,b), 使得
f(a) g(a) h(a)
f(b) g(b) h(b) = 0.
f(S) g'(£)"(蜀
设 f(x)在(一00,+3)连续，且 lim f (x) = +00 ,证明：/'(x)在(一3,+3)上取到
XT±OO
它的最小值.
设在［。,。)连续，lim /(x) = B .
x—>b~
若存在%! e ［a,b),使f(X］)〉3,则f (x)在［a,b) ±达到最大值；
如果存在%! e［a,b),使f(X)= 3,能否断言f(x)在［a,b)上达到最大值？
设f(x)在［a,+3)有界，f(x)存在，且 lim f \x} = = Q.
x—>+00
冗
求证：arcsin x + arccos x 三刁(时 VI).
2微分中值定理及其应用
：
tan破
lim ;
i。sin*
,、「 1 - cos x2
lim— ;
x sinx
ln(l + x)-x
lim ;
1。 cos x-1
一、「 tan x - x
lim ;
xto % - sin x
(5)
x->0
(6)
「 In cos ax lim ;
i° Ineos*
(7)
「 tan x-6 lim ;
sec x + 5
2
(8)
lim, a \ Inx
x-1
JQ
- x) tan — ;
i兀 2
(10)
(11)
Xb
lim —(。,人>0)；
XT+00。狠
(12)
71
——arctan x lim 2
X—>+00
1 sin —
x
(13)
(b,c>0);
(14)
lim xb lnc
io+
x (b,c>0);
(15)
「 1 - 2 sin x
lim
XT生 cos3x
6
(16)
Inx lim ;
io+ cot x
(17)
].(l + x)x -e lim x->0
(18)
lim xsinx;
i0+
(19)
lim I In — 10+
1Y
(20)
lim
x->0
1
tanx\2
(21) lim|
x sin x
x->0
(22) lim sinxInx.
10+
/*3)在[0,x]±应用拉格朗日中值定理有
/(x)-/(O) = /(^)x^e(O,l).
试证对下列