从一题多解中来探讨二面角的求法.docx

从一题多解中来探讨二面角的求法.docx从一题多解中探讨二面角的求法
湖南邵东三中刘强刚
立体几何中，空间角有线线角、线面角与面面角三类，而二面角又是高中数学教学的重 点和难点，其难就难在它不能直接度量,"死"又"活", 说它"死"，是指其三个条件：（1）顶点在棱上；（2）边分别在两个半平面内;（3） 者缺一不可，尤其是线线垂直不直观，难以把握，说它"活"，就是指它的顶点在棱上没有固定 位置，，下面从一例多解来谈谈常见的二面角求法.
首先我们一起来回忆理解二面角的基础知识。
1、 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。这条直线 叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
2、 而二面角的度量是用平面角，称为二面角的平面角。
具体的定义如下：
一个平面垂直于二面角a-/-0的棱/，且与两个半平面的交线分别是OA、0B, 0为 垂足，则ZAOB叫做二面角a-l — 0的平面角。角的范围是［0,兀］.
3、 二面角的通常求法
（1） 由定义作出二面角的平面角；
（2） 作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
（3） 利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4） 空间坐标求二面角的大小,利用异面直线（两直线垂直于棱）所成的角，平面的法向 量求.
⑸射影面积法cos& = S^S
下面通过一个例子多种解法让同学们理解立体几何中的二面角的求法。
例：PA 丄平面 ABC, AC 丄 BC,PA = AC = l,BC = yj2,求二面角 A-PB-C 的大小. 方法1:找二面角的平面角
如图，作CH丄AB于H ,因为PA丄平面ABC , 所以CH丄P4,从而CH丄平面P4B,作HD丄PB
于D,连CD,由三垂线定理得CD丄PB,所以 ACDH为二面角A-PB-C的平面角.
■: PA丄平面血C, ...PA丄BC, BC丄4C
BC丄平面PAC,:. ，易知CD = l,
在血CHDWH等書,故二面角―的大小是arcs】冲
教学分析：利用三垂线定理作出二面角A-PB-C平面角，但有些题目是比较难以找岀所 求的二面角的平面角的。
方法2:利用垂直于棱的两异面直线所对应的向量 如图，取PB的中点D,连结CD,因为PC=CB=Q ,所以
CD丄PB,作AE丄PB于E,则二面角A-PB-C的

PA = 1,PB = y/PA2 + AB2 = yl PA2 + AC2 + BC2 = 2
PA2 1
pA2 1 1
又化譽 十—，由反皿+血+ ”,
且疋 丄丽,反丄丽，得知IC = AE + ED + DC
网$ = ^AE + ED + DCj -|A£| +|£Z）| +|Z）C| +2AE ■ ED+ 2ED ■ DC+ 2AE ■ DC
|2
|2
|2
|2
|2
|2
1-1
= \AE[ +\ED\ +\DC\ +0 + 0 + 2|AE|-|DC|cos（^
（兀-0）
于是 1丄 +丄+ 1 —2x 匣 xlxcos0 .-.cos^- —
4 4 2 3
二面角A-PB-C