高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四.doc

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四.doc高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四
•(本小题满分14分)
2兀一CL 已知f(x)=——(XWR)在区间［―1, 1］上是增函数.
x + 2
(I )求实数a的值组成的集合A；
(II)设关于X的方程f(x)=丄的两个非零实根为冷、：是否存在实数m,使得
X
不等式m2+tm+1 ^|X!-X2|对任意awA及tw［—1, 1］恒成立?若存在，求m的取值范围；
若不存在，请说明理由.
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论
.
解:
(I ) f' (x)=
4 + 2ax — 2x~
(x2 +2)2
_ 2(x_ _ ax — 2)(x2 +2)2_
Vf(x)在[—1, 1]上是增函数，
...f' (x)$0 对 xe[-1, 1]恒成立，
即x2—ax—2<0对xg[—1, 1]恒成立. ①
设(p (x)=x2—ax—2,
方法一：
| 0 ⑴=1-a-2W0,
o ] o-
0(—1)=1+a—2W0.
・・•对xf[-1, 1], f(x)是连续函数，且只有当吐1时，f，(-1)=0以及当吐一1时，f，
(1)=0
.・・ A={a| — 1 WaW 1}. 方法二：
-<0,2
a — r — 20,
①o] 或1
J(P (-1)=1+a-2^0 L cp ⑴=1 -a-2W0
0 0WaW1 或 一
o —
•.•对Xe[-1, 1], f(x)是连续函数,且只有当a=1时，f (-1)=0以及当a=-1时，f‘ ⑴=0
.•.A={a| —1WaW1}.
(II)由 =—,得 x?—ax—2=0, V A=a2+8>0
x2 + 2 x
•'•Xi，X2是方程x2—ax—2=0的两非零实根，
x1+x2=a,
从而％ —X2〔= J(X] +兀2)2 - 4兀]兀2 = J。' + 8 .
X[X2= —2,
V-1<a<1, .,.|x1-x2|=Va2 +8 <3.
要使不等式m2+tm+1^|x1-x2|^任意aeA及te[—1, 1]恒成立，
当且仅当m'+tm+l三3对任意te[-1, 1]恒成立，
即m 2+tm-2^ 0对任意te[-i, 1]恒成立. ②
设 g(t)=m2+tm—2=mt+(m2—2),
方法一：
"g(—1)=m2—m—2^0,
Y 0
J
g(1)=m2+m—2^0,
o m^2 或 mW—2.
所以，存在实数m,使不等式m2+tm+1^|x1-x2|对任意aeA及te[—1, 1]恒成立， 其取值范围是{m|m^2,或mW—2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当mHO时，
一 m>0, 「m<0,
■< Y
g(—1)=m2—m—2^0 g(1)=m2+m—2^0
o m±2 或 mW—2.
所以，存在实数m,使不等式m'+tm+l纠x〔一X2〔对任意aeA及绘卜1, 1］恒成立，其
取值范围是{m|m》2,或mW—2}.
(本小题满分12分)
如图，P是抛物线C： y=fx2上一点，直线丨过点P且与抛物线 C交于另一点Q.
(I )若直线I与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹 方程；
(II)若直线I不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,
I ST I I VT I 试求匕—+ 的取值范围.
\SP\ \SQ\
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想 和综合解题能力•满分12分.
解：(I)设 P(x” yj, Q(x2, y2)，M(x0, y0)，依题意 x^HO, yi>0, y2>0.
由 y=^-x2, ①
得 y' =x.
•••过点P的切线的斜率k沪xi，
•••直线I的斜率k,=-—=-一 k切X]
直线I的方程为y—丄Xi2=— — (x—Xi),
X]
方法一：
7
联立①②消去y,得/+ — X—Xi2—2=0.
•••M是PQ的中点
y°=*- — (xo-xO.
2 %,
消去 Xi,得 yo=x（）2+ +1 （xoHO）,
2*0
.IPQ中点M的轨迹方程为丫二乂彳+丄亍+心工。）.
2x°
方法二：
2 1 2 + X°
山f产，x°=F
得 yi — y2= * X12 — * X22= + (Xi +x2)(X! -x2)=Xo(X! -x2),
=k|=-—
Xi
• • X1 = ,
x（）
将上式代入②并整理，