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离散余弦变换DCT及其应用分析
离散余弦变换（DCT）及其应用
一维离散余弦变换
一维CT的变换核定义为 :
(1-1)
式中，x, u=0, 1, 2, …, N－1；
(1-2)
一维DCT定义如下： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。
离散余弦变换（DCT）及其应用
(1-3)
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1。
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即
F=Gf
(1-4)
其中
(1-5)
离散余弦变换（DCT）及其应用
一维DCT的逆变换IDCT定义为
式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。
(1-6)
二维离散余弦变换
考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为
离散余弦变换（DCT）及其应用
(1-7)
式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像矩阵，则
(1-8)
离散余弦变换（DCT）及其应用
式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
二维DCT逆变换定义如下：
(1-9)
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下： 
F=GfGT (1-10)
离散余弦变换（DCT）及其应用
同时，由式(1-8)和式(1-9)可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即
(1-11)
式中：C(u)和C(v)的定义同式（1-2）； x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
离散余弦变换（DCT）及其应用
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即
(1-12)
快速离散余弦变换
离散余弦变换（DCT）及其应用
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。
首先，将f(x)延拓为
x=0, 1, 2, …, N-1
x=N， N+1, …, 2N-1
(1-13)
离散余弦变换（DCT）及其应用
按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT为
(1-14)
式中，Re{·}表示取复数的实部。