2016精编常微分方程模拟试题及答案参考.doc

1 常微分方程模拟试题一、填空题(每小题 3分,本题共 15分) 1 .一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线. 2 .二阶线性齐次微分方程的两个解)( ),( 21xyxy 为方程的基本解组充分必要条件是. 3 .方程 02??????yyy 的基本解组是. 4 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间. 5 .方程 21d dyx y??的常数解是. 二、单项选择题(每小题 3分,本题共 15分) 6 .方程 yxx y???3 1d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A )上半平面(B) xoy 平面(C )下半平面(D )除 y 轴外的全平面 7. 方程1d d??yx y ( )奇解. (A )有一个(B )有两个(C )无(D )有无数个 8.)(yf 连续可微是保证方程)(d dyfx y?解存在且唯一的( )条件. (A )必要(B )充分(C )充分必要(D )必要非充分 9 .二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A )构成一个 2 维线性空间(B )构成一个 3 维线性空间(C )不能构成一个线性空间(D )构成一个无限维线性空间 10 .方程 3 23d dyx y?过点(0, 0) 有( B). (A) 无数个解(B) 只有一个解(C) 只有两个解(D) 只有三个解三、计算题(每小题6分,本题共 30分) 求下列方程的通解或通积分: y lnd d? yx yx y??? 2)(1d d d xyyx y?? )d(d2 22???yyxx xy )(2yyxy ????四、计算题(每小题 10分,本题共 20分) 16 .求方程 255xyy??????的通解. 17 .求下列方程组的通解. ???????????xt y t yt xd d sin 1d d 五、证明题(每小题 10分,本题共 20分) 18 .设)(xf 在),0[??上连续,且 0)( lim ????xf x ,求证:方程)(d dxfyx y?? 2 的一切解)(xy ,均有 0)( lim ????xy x . 19 .在方程 0)()(??????yxqyxpy 中,)( ),(xqxp 在),(????上连续,求证:若)(xp 恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW 是),(????上的严格单调函数. 常微分方程模拟试题参考答案一、填空题(每小题 3分,本题共 15分) .线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零) ,e 4 .开 ??y 二、单项选择题(每小题 3分,本题共 15分) 三、计算题(每小题6分,本题共 30分) :1y?为常数解(1 分) 当0?y ,1?y 时,分离变量取不定积分,得 Cxyy y???? d ln d (3 分) 通积分为 xCye ln?(6 分) 注:1y?包含在常数解中,当 0c?时就是常数解,因此常数解可以不专门列出。 : 方程两端同乘以 5?y ,得 xyx yy????45d d (1 分) 令zy??4 ,则x zx yyd dd d4 5???,代入上式,得 xzx z???d d4 1 (3 分) 这是一