微分方程模型导弹跟踪剖析.ppt

导弹跟踪问题常微分方程模型问题某军队一导弹基地发现正北方向 120km 处海面上有敌艇一艘以 90km/h 的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为 450km/h 。自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇? 数学建模微分方程建模的方法主要是依据守恒定律来建立等量关系式。对于这个问题,寻求等量关系是比较简单的。设坐标系如下图所示,取导弹基地为原点(0,0) ,x 轴指向正东方, y轴指向正北方向。 P(x,y) O A(0,H) x yM 当 t=0 时,导弹位于 O, 敌艇位于点 A(0,H) ,其中 H=120(km) .设导弹在 t时刻的位置为 p(x (t), y (t)), 由题意 22 2)()( wv dt dy dt dx??( ) 其中 v w =450 ( km/h )。 y P(x,y) O A(0,H) x My另外在 t时刻,敌艇位置应为 M( v et , H ), 其中 v e =90 (km /h) 。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌舰,即直线 PM 的方向就是导弹轨迹上点 p 的切线方向,故有 xtv yH dx dy e???( ) 或写为)(xtv yH dt dx dt dy e???( ) 方程( )、( )连同初值条件 x(0) =0, y (0) =0 ,构成了一个关于时间变量 t的一阶微分方程组的初值问题. 222)()( wv dt dy dt dx??)(xtv yH dt dx dt dy e???( ) 为了寻求 x与y的关系,要设法消去变量 t, 由式( ) xtv yH dx dy e???( ) 得 xtvyH dy dx e???)(两边对 t求导 dt dx v dt dy dy dx yH dt dy dy xd e???????????)( 2 2 evyH dt dy dy xd??)( 2 2即有把式( ) 22 2)()( wv dt dy dt dx??( ) 2 221 wv dy dx dt dy????????????????????????改写为 1)( 2?? dy dx v dt dy w 代入上式,就得到轨迹方程。这是一个二阶非线性微分方程,加上初值条件,则得到导弹轨迹的数学模型() w ev v dy dx yH dy xd???1)( )( 2 2 20|x 0y??0| 0y?? dy dx () () 模型求解解法一:解析解法方程() 可以降阶,令 dy dx p? w ev v??记则 w ev v dy dx yH dy xd???1)( )( 2 2 2( ) 化为一阶可分离变量方程 yH dy dp??? 1p 2?即 1 )( 2?????p dp yH yHd?两边积分可得: ?)(1 2yH HCpp????由初值条件( ) p| y=0 =0得 C=1 , 从而: ?)(1 2yH H pp????上式通过分子有理化可改写为?)H y-H1 2( ????pp两式相加得到])() [(2 1 ??H yHyH H p ????这样我们又得到一个可分离的变量方程])() [(2 1 ??H yHyH H dy dx????( ) 两端积分得到 1 1 1]1 )()1( )([2 1C yHH H yHx???????????????利用 x| y=0 =0 得到????1 1Hc于是导弹轨迹方程为 2 1 111 )()1( )(2 1????????????????????????H yHH H yHx( ) 设导弹击中敌艇于 B(L,H) P(x,y) O A(0,H) x yM B(L,H) * 以 y=H 代入( )式,得 2221 ew ewvv v Hv HL??????( ) 而导弹击中敌艇的时刻 22ew w evv Hv v LT???( ) 将数据 H=120 (km ), v e =90 ( km/h ), v w =450 ( km/h ) 代入() 、() 式,得到 L=25 (km), T≈ (h)=13 分钟即在东面 25公里处, 13分钟后击中敌艇。能用解析方法求解非线性常微分方程固然不错,但这样的结果并不具有普遍性,因此最后还是需要用数值解方法进行求解。下面我们再考虑这个问题的数值解, 并与精确解作比较。