偏微分方程期末复习笔记.doc

《偏微分方程》期末考试复****一、波动方程(双曲型方程) ),( 2txfuau xx tt??(一)初值问题(柯西问题) 1 、一维情形???????????)( )( ),( 0 0 2xu xu txfuau tt t xx tt??(1 )解法(传播波法): 由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和, (I)???????????)( )( 0 0 0 2xu xu uau tt t xx tt??(Ⅱ)???????????0 0 ),( 0 0 2tt t xx ttu u txfuau 其中,问题( I )的解由达朗贝尔公式给出: ?????da atxatxtxu atxatx????????)(2 12 )()(),( 由齐次化原理,问题( Ⅱ)的解为: ??dtxWtxu t?? 0);,(),( 其中, );,,,(?tzyxW 是下述初值问题的解: ???????????),( 0 0 2???xfW W WaW tt t xx tt, 利用达朗贝尔公式得??????dfa txW taxtax??????)()(),(2 1);,( 从而问题( Ⅱ)的解为: ??????ddfa txu ttaxtax??????? 0 )()(),(2 1),( 综上所述,原初值问题的解为: ???????????ddfa da atxatxtxu ttaxtax atxatx??????????????? 0 )()(),(2 1)(2 12 )()(),( (2 )依赖区间、决定区域、影响区域、特征线: ①依赖区间:点(x,t) 的依赖区间为: [ x-at , x+at ]; ②决定区域:区间],[ 21xx 的决定区域为: {( x,t )|atxxatx???? 21 } ③影响区域: 区间],[ 21xx 的影响区域为: {( x,t )|atxxatx???? 21 } ④特征线: atxx?? 0 (3 )解的验证:见课本 P10, P14 2 、三维情形???????????????),,( ),,( ),,,()( 0 0 2zyxu zyxu tzyxfuuuau tt t zz yy xx tt??(1 )解法(球面平均法): 由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和, (I)???????????????),,( ),,( 0)( 0 0 2zyxu zyxu uuuau tt t zz yy xx tt??(Ⅱ)???????????????0 0 ),,,()( 0 0 2tt t zz yy xx ttu u tzyxfuuuau 其中,问题( I )的解由泊松公式给出: ???????????????? SSdS ta dS tat tzyxu???? 224 14 1),,,( 由齐次化原理,问题( Ⅱ)的解为: ??dtzyxWtzyxu t?? 0);,,,(),,,( 其中, );,,,(?tzyxW 是下述初值问题的解: ???????????????),,,( 0 0)( 2???zyxfW W zz yy xx tt, 利用泊松公式得??????????? S tardS r fa tzyxW )(),,,(4 1);,,,( ???????从而问题( Ⅱ)的解为: