双曲线典型例的题目讲义.doc

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直线与双曲线
一、知识梳理
1双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
(1)在平面内；(2)与两定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数; (3)常数小于|FiF2|.
2 •双曲线的标准方程和几何性质
标准
方程
2 2
x y
孑—1( a>0, b>0)
2 2
斗—b?= 1( a>0, b>0)
图形
r工
/ !
f 1*1 r
mH
守
Fi
性
质
范围
x> a 或 xw— a, y€ R
yw — a 或 y>a, x€ R
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A( — a, 0), A(a, 0)
顶点坐标：A(0 ,— a) , A(0 , a)
渐近线
b y =± - x 3 a
a
y =± bx
a, b, c的关系
2 2 . 2 c = a + b
实虚轴
线段AA叫做双曲线的实轴，它的长 | AA| = 2a；
线段BB叫做双曲线的虚轴，它的长 |BB| = a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
二、典型例题：
例1 •双曲线y2— x2= 2的渐近线方程是 ( )
A. y =± x B. y =± 2x C . y=± 3x D . y =± 2x
3
C的右焦点为F(3,0) , c/a等于2，则C的方程是 ()
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y
A・4——5=1 B. 4 - 5 =1 C. 2— 5 =1 D. 2— —5=1
2 2
(a>0, b>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双 a b
曲线的c/a的取值范围是 ()
A. ( —R, . 2) B . (1 , .3) C . (1 , . 5) D . ( .5,+^ )
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2 2
例4•已知双曲线扌一5 = 1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a等于(
A.
3 .'14
14
B.
"~F
C.
D.
mX+ y2= 1的虚轴长是实轴长的 2倍，贝U m=

C,过点P(2 , - 3)且c/a为2,则双曲线 C的标准方程为
, F2是双曲线
=1( a>0, b> 0)的两个焦点,
| PF| + | PF| = 6a,且厶
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PFFa的最小内角为30°,贝y C的c/a为 .
2 2
x y 2 2
例&已知椭圆D:晶+和=1与圆M x + (y — 5) = 9,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰
50 25
好与圆M相切，求双曲线G的方程.
2
x

2
A, B两点，O为坐标原点，F1为左
6 = 1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于
焦占
八、、八\、♦
(1)求| AB ； (2)求厶AOB勺面积.
，焦点 F1、F2在坐标轴上，c/a为，2,且过点P(4，— 10).
(1)求双曲线方程；(2)若点M3 , m在双曲线上，求证： mA MF= 0; (3)求厶RMF的面积.
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2 2
11、已知曲线 C的方程为 —J 1 ,
2 +m m +1
(1) 若曲线C为椭圆，贝y m的取值范围为 ;
(2) 若曲线C为双曲线，则 m的取值范围为
2 2
12、直线I: y = k x 一2与双曲线C：今一号=1交于a b两点，若|AB 6 2，求k的取值范围。
2
2 y
P,Q两点，且B是PQ的中
13、对于双曲线x 1，过B(1,1)能否作直线m，时使m与双曲线交于
2
占
八、、♦
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
x —
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x —
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2
X2 -上 1，试问是否存在被点(1, 1 )所平分的弦？如果存在，求出所在直线;
2
15、试问双曲线3x2-y 2=1上是否