求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)精编版.doc

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求数列前N项和的七种方法
点拨:
核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公 式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注 意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

等差数列前n项和：
养込斗na1 n（^^）d
2 2
特别的，当前n项的个数为奇数时， Ekj = （2k -llak1，即前n项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n项和：
q=1 时寸，Sn = na〔
ai（1 -qn ）
q -1, Sn ，特别要注意对公比的讨论。
I I >
1 -q
其他公式：
1、Sn
n
八k二
1
n(n 1) 2、
n
Sn k
= h(n 1)( 2n 1)
k吕
2
k A
6
3、Sn
n
八k3
1 2
珂—n(n 1)］2
k 4
2
［例1］已知log 3 x —，求x x2 x^ 亠xn ■…的前n项和. log2 3
解：由log 3 x
-1 1
log 2 3
=log 3 x _ - log3 2 - x = _
2
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由等比数列求和公式得
用常用公式）
Sn
=X X2 X3
（利
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x(l — Xn)
1 -X
1 1
2(1-列_ 1丄
1 2n
1 -
2
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［例 2］设 Sn= 1+2+3+…+n ,
n € N*,求 f (n)=
Sn
(n ' 32)Sn 1
的最大值.
解：由等差数列求和公式得
用常用公式）
1
Sm 飞⑴ 1)(n 2)
（利
f(n)二
n
~2
n 34n 64
n 34 64 ( •. n - 8 )2 50
n ■. n
1
<——
50
•••= 8，即 n= 8 时，f(n)
In
max
50
2•错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
｛an • bn｝的前n项和，其中｛ an ｝、｛ bn ｝分别是等差数列和等比数列 •
［例 3］求和：Sn ^1 3x 5x2 7x3 n …订2n -1 ）xn， ①
解：由题可知，｛ （2 n- 1）xn」｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛xn，｝的 通项之积
2 3 4 n
设 xSn =1x 3x 5x 7x （2n T）x ②
①—②得 （1 - x）Sn = 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn，-（2n - 1）xn
（错位相减）
1 _ xnx
再利用等比数列的求和公式得： （1 -x）Sn 2x （2n- 1）xn
1 - x
Sn =
(2n - 1)xn 九-门n 1)xn (1 x)
(1-x)2
［例4］求数列2,款
2 22 23
2n
…前n项的和.
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2n 1
解：由题可知，｛尹｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛刁｝的通项之积
4 6 2n
4 6 2n
+ —— + —- + f
23
设Sn
iSn 二
（设制错位）
2
=_ +
2
2
（错位相减）
Sn
24
2n 1
1
(1-严
2
+ —J- + ■ ■ ■ +
24
2n
2^1
2n
_ 2 _ 2 n」-2* 1
n 2
=4 -
2“」
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+(4n-3)x n-1
+(4n-3)x n-1
+(4 n-3)x
练****br/>2
求：Sn=1+5x+9x +
解：S=1+5x+9x+
①两边同乘以x,得
2 3
x S n=x+5 x +9x + • •
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①-②得，(1-x) S=1+4 (x+ x
当 x=1 时，S=1