小学奥数四年级_幻方与数阵图.doc

幻方与数阵图扩展[ 内容概述] 本讲有两部分主要内容: 1、幻方的概念和性质,简单幻方的编制; 2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形,叫做数阵图。大致分为三类:封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。幻方的概念: 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等;而阶数是指每行、每列所包含的方格数。幻方题可以粗略的分为两种,一种是限制了所填入的数字,或者给出了需要填入的各个数字,或者已经填入一个或几个数字;另一种是对填入的数字没有任何限制,填对即可。幻方又称为魔方,方阵等,它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上苍, 于是黄河中跃出一匹龙马,背上驮着一张图,反作为礼物献给他,这就是“河图”了,是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大乌龟, 它的背上有图有字, 人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈 45 个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到 1至9 这九个数,恰组成一个三阶幻方。幻方问题主要方法: 一、累加法: 利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起, 再计算每一个位置上的重数,从而求出“幻和”和关键位置上的数字。二、求出“幻和”和关键位置上的数字后,结合枚举法完成数阵图的填写,在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。三、比较法: 利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系,注意它们之间共同的部分,去比较不同的部分。四、掌握好 3 阶幻方中的规律。本讲还有一部分内容是数阵图拓展,也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学****数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊,我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的,大家可以在下面的学****中体会到这一点。[ 思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目,目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图,将 1—9 填入 3×3 的方格表中,使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等,你一共可以得到多少种填法? 「分析」首先,我们思考要填出一个三阶幻方,什么量的求出是最重要的?立刻我们就知道,那个所谓的“幻和”, 即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢?哦, 如果我们按照行( 按照第1题列也一样) 把幻方中的九个数加起来, 那么它们的总和不就是 3 倍的“幻和”吗?而另一方面, 我们也知道, 由于 1到9 这九个数字都只各用了一次,所以 3 倍的的“幻和”就等于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 (请复****学过的等差数列知识) 。于是最后,我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是 45÷ 3=15 。接下来第二步,我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。同学们可能会说,中间一定填 5 ,因为 1到9 的中间数字就是 5 ,而幻方又是上下左右对称的。没错,同学们有这样的数学直观很好,但是为了确定我们的判断,还是需要严格地说明一下。 ABCDEFGHI 看上面的表格,由于我们还没有填入任何一个数字,所以就用了九个大写字母来表示。下面就需要技巧了,我们现在只考虑