第23讲 游戏必胜策略.doc

小升初面试第二阶段数学课程-- 游戏必胜的策略第一部分思维提升( 45 分钟) 我国古代有一个“田忌赛马”的故事; 齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹,进行三场比赛,每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马, 田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意, 叫田忌用下等马对齐王的上等马, 上等马对齐王的中等马, 中等马对齐王的下等马。结果, 田忌先负一场然后连胜两场, 反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们: 在竞争时, 要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利,或在胜利无望的时候,也不至于输得太惨。这种思想在 20 世纪形成了对策论这门新兴学科。下面我们就根据这个理论来想一想对策: 例1、两个人轮流数数,每个人每次可以数 1 个、 2 个、 3 个,但不能不数。例如第一个数 1、2, 第二个接着往下数 3, 也可以数 3、4, 还可以数 3、4、 5,。如此继续下去, 谁先数到 100 , 谁就算胜。请试一试,怎样才能获胜? 分析:要抢到 100 ,必须抢到 96. 这时另一个人只能数 97或 97、 98 或数 97、 98、 99 ,无法数到 100 。如何才能抢到 96 呢?有必须抢到 92. 以此类推,得到一列数 92、 88、 84、…、 4. 只要抢到这些数中的任何一个,然后当对方报 a 个数时( 1≤a≤3 )时,就报( 4-a )个数,这样就能抢到这个数列中的上一个数,直到抢到 100. 但无论第一个人报什么数, 第二个人都可以抢到 4n( n=1 、2…) 因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时,第一个人才能获胜。思考:如果将 100 改为 101 或 99 ,其他条件都不变,先数的人能否获胜呢?(是否还是抢 4 呢?) 例2 、有两堆火柴,一堆 16 跟,一堆 11 跟。甲乙两人轮流从中拿走 1 根或几根甚至一堆,但每次只能在某一堆中拿火柴,谁拿走最后一根谁取胜,问甲如何才能取胜? 分析:这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时,后取者只要根据先取者的取法, 在另一堆中取相同的根数, 就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。解: 甲从 16 根的那堆中先取出 16-11=5 根, 是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数,是两堆火柴根数保持相等,直至取到最后一根火柴而获胜。说明:当乙先取时,如果他不知道获胜的策略,那么甲可以利用已的错误取胜。例3、一张 3× 10 的长方形网格纸有 30 个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。(只能沿直线剪, 否则为输) 甲将一份分为两份, 选送一份给乙; 乙按要求剪一刀后, 选一份再送给甲……如此重复进行,谁送给对方一个方格,谁就获胜。甲要想获胜,有何策略? 分析:送给对方一个正方形的方格纸,这时后剪的都可以使图形再变成(更小的)正方形,知道取胜为止。解:甲先剪下 7×3 的一块,把 3×3 的那块送给乙。乙只能剪成 1×3和2×3 的两块。若送给甲 1×3 的那块, 正好使甲剪下 1×2 而获胜。若送给甲 2×3 的那块, 那么甲再一刀剪成