基本不等式.docx

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基本不等式：
一 基本不等式
（1）重要不等式
一般地，对于任意实数，都有，当且仅当时等号成立.
注：①取等的条件是，若果不能相等，则中的等号不能成立.
②重要不等式可变形为，，.
例：已知实数满足，，则的最大值是_____.
（2）基本不等式
基本不等式公式：如果，那么，当且仅当时，，叫做正数的几何平均数.
注：①基本不等式成立的条件是：.
②基本不等式可变形为：，.
例1 若，证明.

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例2 下列说法正确的是（）
函数的最小值为.
函数的最小值为.
函数的最小值为.
函数的最小值为.
练****1下列不等式：①；②；③若，，④若，.②③
练****2 已知， ，则___.（填）
二 利用不等式求最值
（1）最值定理
已知都是正实数.
①如果积是定值，那么当时，有最小值;
②如果是定值，那么当时，积有最大值.
“积定和最小，和定积最大”
（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.
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如：1 已知，则的最大值为____.
2 已知为正实数，且，则的最小值为___.
例1若，则的最大值为____.-12
例2
例3函数的最小值为______.
练****1已知，
练****2，，
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例3 已知函数，当时，取得最小值，
三 利用基本不等式求最值的几种常用方法
（1）常值代换法
对于“已知，求的最小值”和“已知，求的最小值“的问题常用常值代换法.
例1若正数满足，
例2已知，
练****1设，，则当___时，取得最小值.-2
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练****2已知为正数，且，则的最小值___.
（2）换元法
对于单个分式类型的函数求最值问题，可以采用换元法将其转化成的形式，然后利用基本不等式求得其最值.
例1函数的最大值为_____.

练****1函数的最大值____.
（3）消元法
对于给出关于正数的一个恒等式，让求