山大数分试题10.doc

山大数分试题10.doc数项级数
1级数问题的提出
证明：若微分方程xy"+y'+xy = O有多项式解
. . 2 . . n
y = aQ+ axx + a2x H anx ,
则必有ai =0(，= 1,2, •・•/).
00
试确定系数使满足勒让德方程
n=0
(1-x-)y"-2xy'+l(l + V)y = Q.
2数项级数的收敛性及其基本性质
求下列级数的和：
•、3 1
y ；
么(5〃-4)(5〃 +1) 00 1
⑵
⑶£"；
n=l 乙
⑷Ek
n=l 乙
sinztx, I 1；
n=l
£尸〃 COS MX, I r 1-
n=l
讨论下列级数的敛散性:
00 1 1
毕顼+顼);
/、9 n
5 cos ;
2〃 + l
/、3 1
y ；
仑(3〃-2)(3〃 + l)
“=i + + J" + l)
证明定理10. 2.
00 00
设级数各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数£u”即
n=l n=\
U"+l = WA„+1 + "k,,+2 +••• + WA„+I , 〃 = 0,1, 2，…，
00
其中kq=O,kq〈ki <k2 <•••<&, < kii+i 若Zs收敛，证明原来的级数也收敛.
n-1
3正项级数
判别下列级数的收敛性:
00 1
£ 3—；
n' + n
〃=i 司n +n
00
V
勺(2〃-1)221'
ri -
Zf 2n-l
/ . 71
旗sin成;
〃=1 乙
co 1
&=i a
00 1
〃=i nyjn
00 1
00
y
fain(〃 +1)]"
£2 + (一1)" n=l
2"
00
Z 2" sin 审;〃=1 d
oo Mn
nlnnw亍
£〃!3" n=i
n"
n2"T (〃 +1)"
n
00E
00 y 三 (% > o)；
x"
3 3-5 3-5-7 3-5-7-9 1 1 1 ;
1 1-4 1-4-7 1-4-7-10
00 1
〃=1 n
co 1 y—1—.
勺(In 〃产'
，、小1
(20) 2_\~\—；
/^Inn
〃=1乙
00 1
⑵)£可；
n-\ °
，、小1
£顽
〃=1 3
£顽
〃=1 3
利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性:
00 1
£[e —(1 + 一)"]，；
〃=1 〃
00
Zin" cos—；
n=3 〃
_00 _ 1
£ gATTI m 匚；
〃=i 〃+1
00
Z(J〃 +「-母n limw次 0.
n—>oo
+n + b).
n=l
00 00 00 00
已知两正项级数£"“和£v〃发散， 问Zmax（“〃,vn）, Z血11（侃〃，匕）两级数的
〃=i 〃=i 〃=i 〃=i
收敛性如何？
oo
。〃收敛，q〃+i < % (〃 = 1,2,…)，求证 lim nan = 0.
ns
n=l
1 2
<
— - ok jk — 1,2. n
1 z i c
% = yy ,k = 1,2,…，
00
求证：（1） z。"收敛;
n=l
s 1
y^—
^n(lnny
00 1
y t ；
n • In n • In In n9
00
y r (b > 0);
e 〃(ln zz) +£T In In n
00
"mg
利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性:
⑴£[竺3是实数); n=l
(2〃)！!
/、Ct(CX + !),,,(6Z + Tl — 1) 1 „
⑵ g ―一商0〉％〉°).
设q > 0,且lim%也=1,求证= ?
"TOO q "TOO Y
利用级数收敛的必要条件证明：
/
lim^ = O;
* (〃!)2
lim ⑵?，= 0 (a > 1).
100 an
00
设q, > 0, JzL数列｛〃〃"｝有界，证明级数2勺：收敛.
«=1
00 00
设正项级数Z%,收敛，证明Z 也收敛.
n=l n=l
设 liman = I,求证：
n—>oo
±00, 1
⑴当/〉i时，收敛；
z? 〃"
8 ]
⑵当/<1时，y—发散.
问i=1时会有什么结论?
4 一般项级数
讨论下列级数的收敛性:
00Z(T) n-1
n +100
Inn
.n7r sin——;
2
, 1