全国大学生数学竞赛赛试题.docx

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第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
一、填空题（每小题
5 分，共 20 分）
( x
y
)
y) ln(1
1．计算
D
x
dxdy
__
，其中区域 D 由直线 x y
1与两坐标轴所围成三角形区域 .
1 x
y
2．设 f ( x) 是连续函数，且满足
f (x)
3x2
2
2 , 则 f ( x)
____________.
f ( x)dx
0
3．曲面 z
x 2
y2
2 平行平面
2x
2y
z
0 的切平面方程是 __________.
2
4．设函数
y
y( x)
由方程
xe
f ( y)
y
ln 29
确定，其中
f
具有二阶导数，且
f
1
，则 d2 y
_____.
e
dx 2
二、（ 5 分）求极限 lim ( ex
e2 x
enx
e
) x ，其中 n 是给定的正整数 .
x 0
n
三、（ 15 分）设函数 f ( x) 连续， g (x)
f (xt)dt ，且 lim f ( x)
A ， A 为常数，求 g ( x) 并讨论 g (x)
1
0
x 0
x
在 x 0 处的连续性 .
四、（ 15 分）已知平面区域 D
{( x, y) | 0
x, 0 y
} ， L 为 D 的正向边界，试证：
（1） xesin ydy ye sin xdx
xe sin ydy
yesin x dx ；
（2） xesin y dy ye sin ydx
5 2 .
L
L
L
2
五、（ 10 分）已知 y1 xe x e2 x ， y2 xex e x ， y3 xex e2 x e x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程 .
六、（ 10 分）设抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点 .当 0 x 1 时 , y 0 ,又已知该抛物线与 x 轴及直线
1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的