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蒙特卡罗算法 Monte Carlo
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种
数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区
别。单独的 Simulation 只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte
Carlo 在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是
确定的。
二、Monte Carlo 方法适用用途
（一）数值积分
计算一个定积分，如 ，如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x)，那
么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由
于 f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数 F(x)的显示解，这时我们就只能用数
值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例
如图，数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点，用单个
点的值来代替该小段上函数 f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全
部加起来，用这个面积来近似函数 f(x)（蓝色曲线）与 x 轴围成的面积。这样
做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近
真实的面积。
Monte Carlo 数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo 方法中，
我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的
面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，
近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望
值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布
（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即
可。
（二）随机最优化
Monte Carlo 在随机最优化中的应用包括：模拟退火(Simulated Annealing)、
进化策略(Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是，已知某函数，我们
要求此函数的最大值，那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点，然后用
得到的最大的点作为此函数的最大值。这个例子实质也是随机数值积分，它等价
于求此函数的无穷阶范数（ -Norm）在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中，这部分内容用的相对较不常见，所以此课程就不介
绍随机最优化方法了。
三、Monte Carlo 形式与一般步骤
（一）积分形式
做 Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：
X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)
是 x 的概率密度。在计算欧式期权例子中，x 为期权到期日股票价格，由于我们
计算期权价格