求函数极限方法和技巧.doc

求函数极限方法和技巧
求函数极限方法和技巧
求函数极限方法和技巧
求函数极限的方法和技巧
作者: 　 　黄文羊
摘要： 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词：函数极限
引言
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学****数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面，对读者有所助益.
主要内容
一、求函数极限的方法
１、运用极限的定义
例： 用极限定义证明：
证： 由
ﻩ 取 　则当 时，就有
　
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由函数极限定义有:
　 　 　　
2、利用极限的四则运算性质
若　ﻩ
(I)
（II)
(III)若 B≠0 　 则:

(IV) （ｃ为常数)
上述性质对于
例：求
解：　 　＝
3、约去零因式(此法适用于）
例： 求
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解:原式=
　 　=　
==
=
４、通分法(适用于型)
例: 　求　
　 　 　 　
解：　 原式=
=
ﻩ= 　ﻩ
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)
设函数f（x）、ｇ（ｘ） 满足：
（I）
（ＩＩ) 　（M为正整数）
则：
例:　 求
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解:　 由 　 而 　
故　　原式 =
6、利用无穷小量与无穷大量的关系.
　 （I)若：　　 则
(II) 若： 　 且 　 f（x)≠0　 则
例:　求下列极限
① 　 　　　 　　 ②
解：　由 　 故
ﻩ由　　 故　 　 =
7、等价无穷小代换法
　　 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
　 　 　 　， ﻩ 存在，
则 　 也存在,且有=
例：求极限　
　 解：
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=
注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
　
但我们经常使用的是它们的变形：
例：求下列函数极限


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　 9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。
例：求下列函数的极限
　 　 　 （2)

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10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
　　 m、n、k、l 为正整数。
例:求下列函数极限
① 　、n　 　　②
　 解: ①令 t= 则当 时　 ，于是
原式=
②由于=
令： 则 　
=＝
　 　 =
1１、　　利用函数极限的存在性定理
　　 定理：　 设在的某空心邻域内恒有 g(x）≤f（x)≤ｈ（x)　 且有:
　 　　　
　 则极限 　存在，　且有
　 　
例:　 求 　　　 （a＞１，ｎ＞0）
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解： 当　ｘ≥1 时，存在唯一的正整数k,使
　　 　 　 　 　ｋ ≤x≤ｋ＋1
于是当 n＞0 时有:
　 　 　
及 　 　 　
又 当x时，k 有

及 　　
=0
１２、用左右极限与极限关系（适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形）.
定理:函数极限存在且等于Ａ的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于Ａ。即有：
=＝A
例：设= 　 求及
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由
　
1３、罗比塔法则（适用于未定式极限