射影几何在中学数学的应用.ppt

射影几何在中学数学的应用
第一页，共26页。
其中(x, y)及(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
仿射变换
明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形
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第二页，共26页。
仿射变换的基本性质:
(1)保持直线的平行线；
(2)保持同素性和结合性；
　 (3) 保持共线三点的单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量；
推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量；
推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；
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第三页，共26页。
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线及直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变
仿射变换
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仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF//BD,求证：
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仿射变换
例2 求椭圆的 面积
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仿射变换
半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？
例3 求椭圆 内接△ABC的面积的最大值
思考一
思考二
一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
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椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线及直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等；
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变
仿射变换
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仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线及点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
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仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
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