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§ 4定积分计算
1. 教学目的：掌握微积分学基本定理.
2. 教学内容：
变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分 法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项.
基本要求：
(1) 掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法.
(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项.
3. 教学建议：
(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论.
(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点•对较好学生要求他们了解 这些内容.
1. 微积分学基本定理：
1. 变限积分的可微性 一一 微积分学基本定理：
x
Th 1 (微积分学基本定理 )若函数「C［a,b］,则面积函数 G(x)(t)dt
d x
在［a,b］上可导，且 G(x)= f(t)dt = f(x). 即当f・C［a,b］时，面积函数 dx a
x
G(x) (t) dt可导且在点［a,b］的导数恰为被积函数在上限的值 .亦即：•: J(x)是
a
f(x)的一个原函数•
证
系
连续函数必有原函数
2.
Newt on — Leib niz
公式：
Th 2
(N — L公式)
（证）
b
b
例1
i > x2 dx;
ii > （
0
a
例2
e
In xdx.
e丄
# / 3
dx
与§ 1例3联系）
例4 设 f C[a,b], f(x)_O 但 f(x)=：O.
b
证明a f >0. （ § 3例3对照.）
a b
证明分析：证明 0 f(x)dx：：： f(x)dx.
L a p a
x
设 G(X)= j f(t)dt,只要证明 G(a) ：：： G(b).
■a
为此证明：i） ：G （x） / （只要门（X）_O） ； ii） 但：•：』（X）不是常值函数
（只要门（X）= 0）, iii）
1 xn
例 5 证明 lim dx = 0.(
n 严 1 + x
xn
利用［0,1］上的不等式0 x.）
1 + x
# / 3
# / 3
2. 定积分换元法：
Th 3 设f • C[a,b],函数••满足条件：
i > ( ) =a, (J =b,且 a 乞(t)乞 b, t [：「]；
i > (t)在[一6 ：]上有连续的导函数.
b P
则 f(x)dx 二 f[ (t)] (t)dt. (证)
a 芒
1
例 6 、1-X2dx. ( [1]P305 E4 )
0
H
2
例 7 si nt costdt. ( [1]P305 E5 )
0
计算
1 . …
“。1 X
—务 dx. ( [1]P305
—306 E6 )
该例为技巧积分
dx
0 x a2 -x2
([4] P216 E63 )
该例亦为技巧积分
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