“三线合一”证题.doc

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等腰三角形
巧用“三线合一”证题
“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的 应用。本文结合实例说明其应用，供参考。
“三线合一”
，如图1，AD是 ABC的角平分线，DE、DF分别是 ABD和 ACD的高。 求证：AD垂直平分EF
图1
分析：从本题的条件和图形特征看，欲证 AD垂直平分EF，因为有 1 2，所以只
要证 AEF为等腰三角形即可
证明： DE AB，DF AC
1 2，AD AD
Rt AED Rt AFD
AE AF
又 1 2
AD垂直平分EF
， 长线交AB于点K，
ABC中，AB = AC , AD为BC边上的高，AD的中点为 求证：
M，CM的延
AB
图2
分
DE AB AC
AM MD ,
,
析
AD
AK
BC
KE
可
AB AC，AD
AK KE EB
BC
AB
在ABC中,
A 90，AB AC，
考 虑
BD DC，
3AK先连线，再用
D是BC的中点，
作
BE EK
“三线合一”
P为BC上任
一点，作PE AB , PF AC，垂足分别为 E、F 求证：（1） DE = DF; （ 2） DE DF
分析：（1）欲证二线段相等， 容易想到利用全等三角形。 观察DE为 BDE或 PDE 的一边，DF为 DFP或 DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于 D为等腰直角三角
形的底边 BC上的中点，于是我们想到连结 AD 一试，这时容易发现 AED CFD或
BDF ADF
问题得证。
（2）欲证DE DF，只要证 ADE ADF 90，即可
但由（1）已证出 ADE CDF
又 ADF CDF 90，故问题解决
证明：连结AD。 D是BC的中点
BAC 90，AB AC
1
AD BD - BC
2
DA 平分 BAC，AD BC
1
DAB DAC — BAC 45
2
B 45
AB AC, PF AC，PE AB
四边形PEAF是矩形
PE FA
BPE 45 B
BE PE AF
又 AB AC， E CF
又 EAD FCD 45，AD DC
AED CFD
DE DF
（2） AED CFD
ADE CDF
又 ADF CDF 90
ADF ADE 90
即 DE DF
，再用“三线合一”
，已知四边形 ABCD中， ACB ADB 90，M、N分别为AB、CD 的中点，求证：MN CD
C
分析：由于MN与CD同在 MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证 MCD为
等腰三角形，由于MD、MC为Rt ADB、 Rt ACB斜边AB上的中线，因此
1
MD MC - AB，所以，问题容易解决。
2
证明：连结DM、CM
ACB ADB 90，M是AB的中点
1
DM CM - AB
2
CMD是等腰三角形
又 N是CD的中点， MN CD
图