系统运动的稳定性分析.ppt

系统运动的稳定性分析
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稳定性判别方法
经典控制理论中：
线性定常系统的稳定性：
代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。
非线性定常系统的稳定性：
描述函数法： 要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；
相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。
现代控制理论中：
一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。
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李雅普诺夫稳定性理论。
李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：
：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳
定性，又称李雅普诺夫第一法；
：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函
数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。
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李雅普诺夫稳定性定义
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第二法及其主要定理
线性系统稳定性分析
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李雅普诺夫稳定性定义
一. BIBO稳定性的概念
对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。
李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。
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二．平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为：
若对所有t，状态x满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2. 平衡状态的求法
由定义可见，平衡状态将包含在 这样一个代数方程组中。
对于线性定常系统 ，其平衡状态为xe应满足代数方程 。
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对于非线性系统，方程 的解可能有多个，视系统方程而定。
如：
该系统存在三个平衡状态：
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三．范数的概念
范数的定义
n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 表示，则：
向量的距离
长度 称为向量x与xe的距离，写为：
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定义：对于系统 ，设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即
若能使系统从任意初态x0出发的解 在t>t0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域S(ε)内，即：
则称系统的平衡状态xe在
李雅普诺夫意义下是稳定的。
四．李雅普诺夫稳定性定义
1．李雅普诺夫意义下的稳定性 P169
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几何意义
按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。
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