公平席位的分配最新版本.doc

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公平席位分配模型
班级：09数学〔2〕班 姓名：韩文斌 学号：0907022021
摘要：通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。比拟三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。
关键词：公平分配 绝对不公平程度 Q值法模型
正 文
1 问题的提出
某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
假设学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是什么？
现在丙系有6名学生转入甲乙两系〔其中3人转入甲系，3人转入乙系〕，现在该如何分配呢？
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局，会议决
定下一届增加1席。在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个
系呢？
2 合理假设与变量说明
假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。
符号
符号说明
3个系的总人数
系的人数 =1,2,3
3个系的总席数
系的席数 =1,2,3
的余数
系与系的绝对不公平程度
系与系的相对不公平程度
3 模型建立
人数比例模型
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公平标准 , =1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。
最大剩余法模型
记…的余数，越大说明系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低，那么剩余席位优先分给最大的系。
Q值法模型[1]
当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。
不公平指标
为简单起见考虑,两系分配席位的情况。设两方人数分别为,，占有席位分别为,,那么比值,为两方每个席位所代表的人数。显然仅当分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常，分配不公平，并且比照值较大的一方不公平。
不妨设,不公平程度可用衡量。如设,，，那么，它衡量不公平的绝对程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。如当双方人数增至，、不变时，那么。即不公平的绝对程度不变，但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。为了改良上述的绝对标准，自然想到用相对标准。仍设，定义
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〔1〕
(1)即为A方的相对不公平度。假设，定义
〔2〕
(2)即为对B方的相对不公平度。
分配原那么
假设A,B两方已经占有席位、。利用相对不公平度,讨论当总席位增加1席时，应该分配给A还是B
不失一般性可设，大于号成立时对A不公平。假设增设1席分配给A，就变为，分配给B就有，原不等式可能出现以下3种情况〔只需讨论不等号的情况，一旦等号出现，按等式状况分配即可