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毕业论文正交矩阵及其应用.docx


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正交矩阵及其应用
The orthogonal matrix and its applicalion
摘要
正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代 数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.
关键词:矩阵;正交矩阵;标准正交基;集合;特征根;行列式
Abstract
Orthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.
Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues;
determinant
摘 要 I
s1t •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• II
0引言 1
1正交矩阵的定义及其简单性质 1
正交矩阵的定义及其判定 1
正交矩阵的性质 1
2正交矩阵的应用 2
正交矩阵在线性代数中的应用 2
正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 8
正交矩阵在物理中的作用 11
参考文献 15
0引言
正交矩阵是一类重要的实方阵,由于它的一些特殊性质,使得它在不同的领域都 有着广泛的应用,, 来探讨它的四大应用即:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中 的应用、正交矩阵在物理中的应用.
1正交矩阵的定义及其简单性质
正交矩阵的的定义及其判定
⑴〃阶实矩阵A,若满足A A = E,则称A为正交矩阵.
判定1 A为正交矩阵=4=A,
fl / = /
判定2 A为正交矩阵' 勺,/ = 1,2…
1。,川,
判定3 A为正交矩阵O仪乐=i = / = 1,2,.
正交矩阵的性质
设A为正交矩阵,它有如下性质:
性质1⑸同=±1, 4”存在,并且也为正交矩阵;
性质2⑸A ,父也是正交矩阵;
当国=1时,A = A*,即% = & ;
当同=-=-a\即徇=—4.
性质3⑸若8也是正交矩阵,则力用A民ABA-gAb都为正交矩阵.
证明性质1显然同=±1,(A)=(A)"=(A-i『所以A-也是正交矩阵.
性质2 A=A-1显然A为正交矩阵.
由同= ±1,A*t=百,
当同=1时,A =A*,即% =4;
当 |川=一1 时,A = -A,,即% =-4;
.
性质3由A =A-18 =8"可知
(AB) = B A =B-[A-} =(ABy",
,性质2推知A8,A8',A-i8,AB-i均为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上儿点,还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征 值的特征向量相互正交;如果力是它的特征值,那么,也是它的特征值,另外正交矩
阵可以对角化,即存在复可逆矩阵T,使
A = T~[ " T
_ 4_
其中4,…,4为A的全部特征值,即国=1(,= 1,2,...,〃).这些性质这里就不再证明了.
2正交矩阵的应用

在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,,我们将利 用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧空间的一组基为标准正交 基的另一种方法.
设向量W =(%,卬2…%) »令S = Jw; +卬;(J > /), C = W% ,d = Wj^/,则称〃阶矩
1
c … d i彳丁
TU= '''
—d ••• c )彳丁
_ : : 1
i列 j列
为初等旋转矩阵.
初等旋转矩阵外,是由向量W的第i,/两个元素定义的,与单位矩阵只在第行 和第列相应的四个元素上有差别.
设7;是由向量W定义的初等旋转矩阵(;>0,则有如下的性质:
<1> 7;是正交矩阵;
<2> 设7;W = (%,〃,…,〃J,则有
%

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