二次函数与定点定值问题(教师版).doc

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y =kx + b
AC
C、D 两点，易证△ AOCs^ OBD , •— OC BD
OD
yA - —Xb
Xa yB
1 2
m
2 = _n
m 1 2 n 2
—mn=— 1 ,• mn
4
二次函数与定点、定值问题
【方法归纳】
已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生 一些定点，定量关系•通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解.
思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性.
例1 •已知抛物线：y= ax + bx+ c,顶点坐标为原点，且过(4, 8),如图，若A、B两点在抛物线上，且 OA丄OB, AB交y轴于H点，求H点的坐标.
1 1 2
易求 a = — , b= 0, c= 0, ••• y=：x
2 2
得 x2 — 2kx— 2b = 0, m + n= 2k, mn= — 2b,
又••• OA丄OB,过A点作AC丄x轴，BD丄y轴，垂足分别为
=—4, • b= 2,「. H(0, 2).
方法总结:
过定点.
设 A(xi,
EM
FB
yi), B(x2, y2),易求 M(i,
yi
x2 -1
1 -x1
y2
1 2
2(X1 -1)2
1
-x1
x2 _1
2 (X2 _1)2
——(X1 — 1)2 =
2
1
~2 (X2 _1)
1
「•一 一 [X1X2—(X1 + X2)+ 1] = 1，联
4
1 /八2
y二尹一1)得，
i
y =kx b
X1 + X2= 2k + 2,••• (1 — 2b) — (2k+ 2) + 1 = — 4, k+ b= 2, a y= kx+ b = kx+ 2— k= k(x— 1) + 2, a AB 过定 点(1 , 2).
、立
丄(X— 1)2= kX+ b, x2— 2x+ 1 = 2kX+ 2b, x2— (2 + 2k)x+ 1 — 2b= 0, x1 • x2= 1 — 2b, 2
=丄x2,以M( — 2, 1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 MAB (即M , A, B均
4
在抛物线上)，求证：直线 AB过定点，并求出该定点坐标.
过 M 作 PQ// x 轴，API PQ 于 P,
'1 2
y =— x 1 2
由 J 4 得-x — kx— b= 0, xA+ xB= 4k, xA • xB=— 4b,
4
y 二 kx b
由厶 APMMQB 得 AP • BQ = PM • MQ，即(yA— 1)( -xB2— 1) = — (xA+ 2)(xB + 2),
4
1
* 一(xa— 2)(Xb— 2) = — 1, Xa • Xb— 2(Xa + Xb)+ 4=— 16,
16
* — 4b— 8k+ 4 =— 16, b= 5 — 2k,A AB: y= kx+ 5— 2k = k(x— 2) + 5,过定点(2, 5