购房贷款还贷的数学模型.doc

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购房贷款还贷的数学模型
班级：热能091 学号： 姓名：
一、数学模型建立：
a=贷款本金；
b=每月还款额；
n=房贷年数；
r=贷款月利率；
x=总利息；
w=总归还贷款本息；
a(i)=第i月归还本金；
x(i)=第i月归还的利息；
y(i)=第i月欠银行的钱；
模型描述：
无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额〔也称月供〕中
包含两个局部：本金还款和利息还款：
月还款额=当月本金还款+当月利息 b(i)=a(i)+x(i)；
当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款 y(i)=y(i-1)-a(i)；
当月利息=上月剩余本金×月利率 x(i)=y(i-1)*r ；
月利率=年利率÷12；
其中本金还款是真正归还贷款的。每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少，
利息还款是用来归还剩余本金在本月所产生的利息的。
由上面利息归还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷
款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿
还利息的份额较重。随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利
息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将
既无本金又无利息，至此，全部贷款归还完毕。
二、模型求解：
.
等本息还款额的推导：
每个月的还款额相等，其中月还款额=当月本金还款+当月利息
第一个月的利息＝ar
第一个月的本金还款额
Y(1)＝b－第一个月的利息
＝b－ar
第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额
＝a－〔b－ar〕
＝a×〔１＋r〕－b
第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率
第二个月的利息＝〔a×〔１＋r〕－b〕×r
第二个月的本金还款额
Y(i)＝b－第二个月的利息
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＝b－〔a×〔１＋r〕－b〕×r
第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额
＝a×〔１＋r〕－b－〔b－〔a×〔１＋r〕－a〕×r〕
＝a×〔１＋r〕－b－b＋〔a×〔１＋r〕－b〕×r
＝a×〔１＋r〕^2－［a＋〔１＋r〕×b］
(1+r)^2表示(1+r)的2次方
第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率
第三个月的利息＝〔a×〔１＋r〕^2－［a＋〔１＋r〕×b］〕×r
第三个月的本金还款额
Y(3)＝b－第三个月的利息
＝b－〔a×〔１＋r〕^2－［b＋〔１＋r〕×b］〕×r
第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额
＝a×〔１＋r〕^2－［b＋〔１＋r〕×b］
－〔a－〔a×〔１＋r〕^2－［b＋〔１＋r〕×b］〕×r〕
＝a×〔１＋r〕^2－［b＋〔１＋r〕×b］
－〔b－〔a×〔１＋r〕^2×r＋［b＋〔１＋r〕×b］〕×r〕
＝a×〔１＋r〕^2×〔１＋r〕
－〔b＋［b＋〔１＋r〕×b］