从一道练习题得到的启发.doc

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从一道练****题得到的启发
蔡茂圆锥曲线是高中数学很重要的一个学****内容，其基本思想是 用代数的方式解决几何问题。
在直角坐标系中，圆锥曲线所对应的方程均是二元二次方程，计 算量比较大，给学生带来一个学****上很大的难点。
特别是有一类题型是直线和圆锥曲线相交与弦长有关的问题，常
用的弦长计算公式丨AB| = |-x1 | （其中k为直线的斜率，（x1,y1）（x2, y2）为A、B两点的坐标）始终避不开需要联立圆锥曲线和直线方程， 去解一个二元方程组，或直接解出根或用判别式、韦达定理寻求两根 和与两根积的关系，这都对学生的运算能力提出很高的要求，学生从 心底很排斥，这就导致这类题目失分很大。
在复****中我们碰到了一个这样的练****题，是过焦点的直线和抛物 线相交的一个问题，我发现如果换一个思考问题的角度可以有效的避 开联立方程组的问题提高解题效率。
题目（改编自高三第二轮复****资料 ——特色专题训练小题 9 之选择 题12）:过抛物线y2=4x焦点F的一条直线交抛物线于 A、B两点，正 三角形ABC的顶点C在直线x=-1上，则厶ABC的边长是解法1：利用F 的坐标设出直线 AB的方程：x=my+1，联立直线和抛物线方程得出
| AB| =42+1）利用正三角形的性质表示出点 C的坐标（-1,2m3+4m）, 再用点到线的距离公式求出AB边上的高，建立关于m的等式求出m2=2, 进而求出AB=12解决问题。
解法 2：换一个角度思考直线与抛物线的位置关系， 用直线与 x 轴 的夹角B来表达直线的倾斜程度，如图所示。
作AM丄X轴于M，作AN丄直线x=-1于N,直线x=-1与x轴交于
点 P,贝Z AFI cos 0 = | FM| = I IMp|FP| = | ANFpI = I AFFpI = I AF,I
•••I AF|同理| BF|=从而| AB | = | AF| + | B因此只需要求出0即可。
注意到△ ABC为正三角形，有丰富的边角关系。
设D为AB的中点，作DE1直线x=-1于E,易得/ DCE0, | DE| = | AB|
| DC| = | ABj sin 0 从而/ DCE=0, | AB | =12
此解法与解法 1 相比简洁明快，运算量明显减少，准确率可以得 到很大的提高。
解题回顾：当直线经过了抛物线的焦点与抛物线相交时，会产生 两条焦半径，一条焦点弦。
借助抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离 相等，但换一种表示线段的方法用三角形的相关知识解决可以达到另 一种效果。
为此我联想对一般的抛物线是不是都有类似的结论，椭圆和双曲
线是否也有这样的结论？推广尝试 1:设抛物线y2=2px(p>O)的焦 点为F,直线I过焦点F与抛物线交于A、B两点，且| AF|>| ,服l 与x軸的夹角为0,贝「AF|,= | BF|,= | AB|证明：如图，设准线与x 轴相交于点M，做AC丄x轴于点C,AD丄准线于D「.| CF| = | AF | cos 0
CF = CM - FM =