初中奥数几何题知识点.doc

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初中奥数几何题知识点

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一、内容提要
证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，
若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于
增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般
位置特点（如翻转、旋转、平移等）
一. 证明两条线段相等常用的定理
1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。
2. 在两个三角形中，证明全等。
3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质
②用平行线等分线段定理
：若 则x=y；若 则x=y
、等式性质

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。
2. 在两个三角形中，证明全等或相似。

① 用平行四边形的对角相等
② 行线的同位角相等，内错角相等
③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等
④ 角（或等角）的余角（或补角）相等
⑤ 用等量代换、等式性质
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二、例题
“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中，AB‖CD，∠A＝∠B
求证：AD＝BC
下面提供三种基本证法：
1. 把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。
辅助线是：过点D作DE‖BC，我们称它为“平移”
∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形
2. 以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助
线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证
全等。
3. 由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长
AD和BC交于P。 P
D C D C D C
A E B A N M B A B ：在梯形ABCD中，AB‖CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线
相交于P
求证：PO平分AB
证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F
∵AB‖CD
∴ ＝ ＝ ① ＝ ＝ ②
①×②得
∴AE2＝BE2 ∵AE＞0，BE＞0
∴AE＝BE，即PO平分AB
：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线， 过点C作CD⊥AF，D是垂足 求证：AD被BC平分 A
证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE B 那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB G F
取BE的中点G，连结DG E C
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则DG‖BC，∵AB＝BG D
∴AF＝FD，即AD被BC平分
：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点
求证：PM＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题）
证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ‖AC，PQ＝ AC＝NR
PR‖AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直）
∴△PQ