1997-2011数学三考研真题及答案解析.pdf

1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析点评水木艾迪考研辅导班命题研究中心


1997 年全国硕士研究生入学统一考试
经济数学三试题详解及评析

一、填空题
(1) 设 yf= ()ln xefx( ) 其中 f 可微,则 dy = _________________.
fx ⎡⎤1
【答】 efxfxfxdx() ′′()ln + ()()ln
⎣⎦⎢⎥x
【详解】
⎡⎤fx() fx() fx()
dy==⋅+ d⎣⎦ f()ln x e⎣⎦⎡⎤ df()ln x e f()ln x de
⎡⎤1 fx fx
=⋅+⋅f ′′() ln xdxe() f()ln xe() f() xdx
⎣⎦⎢⎥x
⎡⎤1 fx fx
=⋅+⋅f ′′()ln xdxe() f()ln xe() f() xdx
⎣⎦⎢⎥x
1 1 1
(2) 若 f ()xxf=+−1,2 ()xdx则 f ()xdx= _______________.
1+ x2 ∫0 ∫0
π
【答】
4 −π
1
【详解】设 f ()xdxA= ,
∫0
则
11dx 1
Afxdx==+⋅−() A1 xdx2
∫∫∫001+ x2 0
11A ππ
=+⋅+−=+arctanx arcsinxx 1 x2 A
0024( ) 4
π
故 A = .
4 −π
t
(3) 差分方程 yyttt+1 −=2 的通解为 yt = ____________.
【答】 Ct+−()22t
【详解】齐次差分方程 yytt+1 −=0 . 为任意常数
t t
设()at+ b 2 是差分方程 yyttt+1 −=2 的一个特解,则 ab=1,=− 2. 因此
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t
yCtt =+−()22为所求通解.
222
(4) 若二次型 f ( xxx123,,) = 2 xxx 1 +++ 2 3 2 xxtxx 12 + 23是正定的,则 t 的取值范围
是_______.
【答】−<<22t
【详解】 f 正定的充分必要条件是 f 对应矩阵的各阶顺序主子式大于零,因此
210
t
11> 0,
2
t
01
2
解得−<<22t
( ) 设随机变量和相互独立且都服从正态分布 2 ,而和
5 X Y N (0,3 ) X19,,L X
X ++X
YY,,分别式来自总体 X 和Y 的简单随机样本,则统计量U = 19L 服从
19L 22
YY19++L
__________分布,参数为_____________.
【答】 t,9
XY
【详解】令 XYi′′===ii,,1,2,,9
ii33 L
则
XNii′′~( 0,1)() , YN ~ 0,1 , i= 1,2,L ,9
2
XX′′=++19L XN ′~0,3,()
2
YY′′=++19L Y ′~9 Χ()
因此
X ′
XXXX++′′++ X ′
U ==1919LL ==3
2222Y′ Y′
YYYY1919++LL′′++
9
由于
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X ′
~0,1,~9NY()′Χ2 ()
3
故Ut~9().

二、选择题
56
1cos− x x x
(1) 设 fx()==sin tdtgx2 , () +, 则当 x → 0 时, f ()x 是 gx()的
∫0 56
()A 低阶无穷小(B) 高阶无穷小
()C 等阶无穷小(D) 同阶但不等价的无穷小
【】
【答】应选()B
【详解】利用洛必达法则,有
fx() sin x⋅− sin() 1 cos22 sin() 1 − cos
lim== lim lim
xx→→00gx() x45++ x x→0x34 x
x4
()1cos− 2
===lim lim4 0.
xx→→00xx