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同角三角函数基本关系与诱导公式
　　　　　　　　　　　　　撰稿：刘扬 　　审稿：赵亚莉　　 责编：张杨
一、目标认知
学****目标：
　　1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个
　 　　角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
　　2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导
　 　　公式求三角函数值，感受诱导公式的变化规律.
重点：
　　理解、记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式.
难点：
　　熟练使用公式进行三角化简求值.
二、知识要点梳理
知识点一：同角三角函数的基本关系式：
　　(1)平方关系
　　(2)商数关系
　　要点诠释：
　　(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关
　 　　系式都成立；
　　(2)是的简写；
　　(3)公式有如下等价形式：
　 　　
知识点二：诱导公式
　　诱导公式一：，，其中
　　诱导公式二： ；
　　诱导公式三：
；
　　诱导公式四：；
　　诱导公式五：；
　
-
sin
-sin
sin
-sin
-sin
sin
cos
cos
cos
-cos
-cos
cos
cos
sin
　　要点诠释：
　　(1)要化的角的形式为(为常整数)；
　　(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
　　(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
　　(4)；.
三、规律方法指导
　　1．诱导公式的记忆
　　记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
　　2．三角函数的三类基本题型
　　(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
　 　　①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
　 　　②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确
　　 　　定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
　 　　③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
　 　　求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方
　 　　时符号的选取.
　　(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的
　 　　式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
　　(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.
　 　　化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式经典例题透析
类型一：同角三角函数关系式的应用
　　1、已知，则.
　　思路点拨：由求，可利用公式，同时要注意象限的划分
　　
解析：
　　是第二、三象限的角
　　若是第二象限角，则
　　
　　若是第三象限角，则
　　
　　总结升华：
　　(1)掌握常用勾股数：“3，4，5”；“5，12，13”；“8，15，17”；
　　(2)要根据问题的需要对公式进行变形
　　(3)若已知正弦、余弦或正切中某一个三角函数值，但没有指定角所在象限时，要求另两个三角函数值
　 　　时，可按所在象限分别进行讨论和计算，做到不重不漏.
　　举一反三：
　　【变式1】已知是的一个内角，且，求
　　思路点拨：根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.
　　【答案】
　　为钝角，
　　由，平方整理得
　　
类型二：诱导公式的应用
　　2、化简：
　　(1)；
　　(2).
　　
解析：
　　(1)原式；
　　(2)①当时，原式.
　 　　②当时，原式.
　　总结升华：
　　(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
　　(2)关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶
　 　　数两种类型，分别加以讨论.
　　举一反三：
　　【变式】化简
　　思路点拨：化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
　　解析：(方法一)
　　
　　(方法二)
　　
类型三：三角函数的求值
　　3、已知，求下列各式的值.
　　(1)
　　(2)
　　思路点拨：注意分式的分子、分母均为关于的齐次式，可利用公式将弦化切.
　　解析：