高一数学必修一经典题型举一反三——单调性与最大（小）值重难点题型【解析版】.doc

高一数学必修一经典题型举一反三——单调性与最大（小）值重难点题型【解析版】.doc高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）
单调性与最大（小）值重难点题型
知识链接
函数的单调性
函数单调性的相关概念
函教的单调区间
/
/
取值
作差变形
单调性与最
函数单调性的证明
1
捌断符号 1
\
下结论
函数的最大值
函数的最大值与最小值
函数的最小值J-
举一反三
【考点1利用定义证明函数的单调性】
【练1】己知函数广（x）=x + j,证明/（X）在［1, +00）上是增函数；
【思路分析】用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号.
【答案】证明：在［1, +oo）上任取Xl，X2,且Xl <X2 （2分）
f 31） — f （%2）= + 土 一（*2 + j）（ 1 分）
=31 - 刀2）-打Ml （1 分）
力Vj；2「・工1 一工2 V 0
Vxi ［1, +oo） , %2仁［1，+8）「・尤1尤2一1>0
.*./（X1） - f （%2）V0 即 f（Xl）</（X2）
故f （x）在［1, +8）上是增函数（2分）
【】用单调性定义证明：函数f（X）=W^在（-8，1）上为增函数.
【思路分析】利用单调性的定义进行证明，设X1<X2<1,再作差、变形、判断符号，证/（X2）>/（Xl）,
把XI和X2分别代入函数f危）=/尹进行证明・
【答案】解：设Xl<X2<b
] （*1+工2—2）（工2—工1）
则f3）V（x2） =（X1_1）2 5）2—5）25）2
VX1<X2<1,「・尤2 -尤1〉0,尤1+尤2<2, X1+X2 - 2<0
/./（X1） - f（X2）<0,即 f（Xl）<f（X2）,
函数f 3 =&矣在（-°°，1）上是增函数.
【】用定义法证明函数/（%） =/在（V2, +00）
上是增函数;
【思路分析】利用函数单调性的定义即可证明函数f危）
=三金在（V2, +00）上是增函数;
【答案】解：/■（X）= 号 =*-（顼）=—1 +岑
J X-V2 X-y/2 X-V2
任意设迎<X\<X2^
则/（xi） -f3）=宝一（归一1）[七
,:克 Vx\<X2,
.*.%1 - X2<0, xi—V2>0, X2~V2X）f
.*./（X1） - f（X2）<0,即 f（X1）</（X2），
・.・函数f（X）在（据，+8）上是增函数；
【】已知/■（>） = JR,判断并用定义证明函数f （x）的单调性.
【思路分析】由题意列出--1>0,通分变形后求出不等式得解集，是所求的定义域;
X
【答案】解：要使函数有意义，贝『—12 0,即—->0, X X
解得0〈烂1,则所求的定义域为（0, 1].
/（x）在（0, 1）内单调递减，证明如下：
设 O<X1<X2<1
I I xiF
则 *）- *）= E T -展 T = e
即f(X2) <f(XI), .I函数f(X)在(0, 1]上单调递减.
【考点2利用定义求函数的单调区间】
【练2】写出下列函数的单调区间.
y=k-||; (2)y=岩； (3) y=|x| (1-x) .
【思路分析】根据函数的单调性的性质进行求解即可.
( 3 、3
X f X > —
【答案】解：(l)y=|x-2 3 一；；
2 -X + -, x<-
I 2 2
即函数的单调递增区间为为弓，+00),单调递减区间为(-00, |].
⑵尸三=2.(厂2)+8 =2+卫,
x-2 x-2 x-2
则函数的单调递减区间为为(- 00, 2) , (2, +00)；
( Q lol
%(1 — %) = —Xz + X = — (% ——)2 + -， X > 0
(3) y=\x\ (1 - x) = < ]2]4 .
—x(l — x) = x2 — x = (x — -)2 — - X <0
即函数的单调递增区间为[0, 单调递减区间为(-00, 0], [i, +00).
【】已知函数/(x) =/-4|x|+3,求函数f (x)的单调区间.
{
*2 — a y + 3 x > 0
2，:: 二:’根据二次函数的单调性便可分别求出*20
X + 4% + 3 X VU
和x<0时的/(x)的单调区间，最后便可得出/(x)的单调区间.
{
工2 — 4x + 3 x > 0
/ + 4 二 3 x<0;
/.®x>0 时，