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第6届周培源全国大学生力学竞赛(样题).doc


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第6届周培源全国大学生力学竞赛(样题)
时间3小时,满分120分
一、奇怪的独木桥(25分)
一位游客在某处发现有座独木桥,上面写着:禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队
并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪,为什么 2个人可以过桥
而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试,结果没走到半程,就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查,小河宽 4米,独木桥长6米,如图1所示横跨在小河上(支撑点可以认为是铰
链约束)。独木桥采用当地的轻质木材做成,等截面,允许最大弯矩为 [M]=。为方便假设每人的体
重均为800N,而独木桥的重量不计。请你分析一下:
(1 )本问题与力学中的什么内容有关系?
(2) 如果一个人想过桥,最多能走多远?
(3) 当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥?
lm 4m I in
图1奇怪的独木桥
二、模特儿与新型舞台(35分)
有位模特儿在一种新型舞台上练****走台步。该舞台类似长方形桌子,长为 ,宽为,有6条等长的桌
腿(图2)。每条桌腿都与水平地面有接触开关,如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特
儿发现,站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来,如图 2,她站在舞台右上角附近时,左下角的灯
就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷,把舞台认为是刚体且不计质量,则
(1 )本问题与力学中的什么内容有关系?
(2 )如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来?
(3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的
边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1)。
图2模特儿的新舞台
三、魔术师的表演(25分)
魔术师要表演一个节目。 其中一个道具是边长为 a的不透明立方体箱子,质量为M ;另一个道具是长
为L的均质刚性板AB,质量为M2,可绕光滑的A铰转动;最后一个道具是半径为 R的刚性球,质量为M3, 放在刚性的水平面上。 魔术师首先把刚性板 AB水平放q置在圆球上,板和圆球都可以保持平衡,且圆心 0 和接触点B的连线与垂线夹角为?。然后魔术师又把箱子固定在 AB板的中间位置,系统仍可以保持平衡, 如图3所示。魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球,竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是,当 圆球离开AB板后,AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。
图3魔术师的箱子
(1 )为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去,而魔术师用很小的力却可以推开圆球?这 其中涉及了什么力学内容?
(2) 根据上述介绍,你能否求岀 AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系?
(3) AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查,证明这时平板有且只 有A点与地面接触,排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗?
请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。
四、岀人意料的交线(35分)
设Oxy是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成,初始时刻 CD杆沿轴;0B杆长为,沿x轴
正方向;AB杆长为I,开始时先与 轴平行,绕x轴负方向转动B角后,把这三根杆件焊成一个整体,如 图4所示。
假设在 平面内有一张纸存在,为了能让系统持续地绕 轴以匀角速度yz z 3转动,需要在纸上挖岀
某种形状的空隙让AB杆通过(这里只考虑 AB杆)。
(1) 如果a=0,求空隙的函数表达式 r 0,并画出示意图。
(2) 如果a >0,求空隙的函数表达式 ra ,并画出示意图。 r 0与r a有何关系?
(3) 当a >0时,设P点是AB杆与yz平面的交点,当P点位于AB杆中点且时,如果要求 点的速 度和加速度,你如何考虑?取 -'■ - - - : •心一】二1:1 ?:.速度和加速度是
多少?
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答
、奇怪的独木桥
(1 )本问题与力学中的什么内容有关系?
关键词:梁的弯曲、弯矩。
(2)如果一个人想过桥,最多能走多远?
该问题简化为下图,设人从 B向A走去,载荷P与B点距离为x, AB间的距离为L
易求出支座B点的约束力为 RfP(L-x)/L
则AB间最大弯矩为M(x)=P(L-x)/L
根据允许最大弯矩为[M] 600N m ,有P(L- x)x/L < M
代入数据,解出 x <1, x >3
即一个人最远可以向前走 1米

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