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张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介
质力学的重要数学工具 。
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
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◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表
示成： M = 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量；
当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量；
、
、
、
当取n时，n阶张量，M = 3n。
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◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定
坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量
好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有
的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就
必须扩大，于是张量就出现了。
张量概念及其基本运算
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数
量确定张量的阶次。
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，
再求和。

张量概念及其基本运算

关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：
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★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
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★ 关于自由标号：
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★ 关于Kronecker delta（ ）符号：
是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
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的作用与计算示例如下：
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A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，
并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号
相同的诸分量之代数和。 即：
其中各分量（元素）为：
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B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。
◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，
它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一
个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积
张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
若
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