1/84
文档分类:高等教育

高等数学下册电子教案.doc


下载后只包含 1 个 DOC 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

特别说明:文档预览什么样,下载就是什么样。

下载所得到的文件列表
高等数学下册电子教案.doc
文档介绍:
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
第四章 常微分方程
§4.1 基本概念和一阶微分方程
甲 内容要点
一.基本概念
1.常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程,有时还简称为方程。
2.微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3.微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解;
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;
通解有时也称为一般解但不一定是全部解;
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4.微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5.积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6.线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项,而且它们的系数只是自变量的函数或常数,则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项,自由项为零的线性方程称为线性齐次方程;自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
二.变量可分离方程及其推广
1.变量可分离的方程
(1)方程形式:
通解
(注:在微分方程求解中****惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)
(2)方程形式:
通解
2.变量可分离方程的推广形式
(1)齐次方程
令,


(2)
令,


(3)
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
①当情形,先求出的解
令,
则属于齐次方程情形
②当情形,


令,

属于变量可分离方程情形。
三.一阶线性方程及其推广
1.一阶线性齐次方程

它也是变量可分离方程,通解公式,(为任意常数)
2.一阶线性非齐次方程

用常数变易法可求出通解公式

代入方程求出
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
则得
3.贝努利方程


把原方程化为
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4.方程:
可化为
以为自变量,为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
四.全微分方程及其推广(数学一)
1.全微分方程
,满足
通解:,
其中满足
求的常用方法。
第一种:凑全微分法

把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流,就很有帮助。
(1);
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14);
(15);
(16);
精选范本
页脚下载后可删除,如有侵权请告知删除!
精选范本
第二种:特殊路径积分法(因为积分与路径无关)


第三种:不定积分法
由得

对求导,
得,
求出积分后求出
2.全微分方程的推广(约当因子法)
设不是全微分方程。
不满足
但是存在
使得为全微分方程,
也即满足
则称为约当因子,
按全微分方程解法仍可求出
内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.