二次函数典型例题解析与习题训练.doc

二次函数典型例题解析与****题训练
二次函数典型例题解析与****题训练
二次函数典型例题解析与****题训练
二次函数
一、知识点梳理
1。定义:一般地，如果是常数，,那么叫做的二次函数.
的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线。
二次函数
ａ>0
a<０
　 　 　　ｙ
　 　 　　　 0 　 　 x
　　 　　　 　 　 　 y
　 　　　　 　 　　 0　　 　x
(1）抛物线开口向上,并向上无限延伸;
（2）对称轴是x=，顶点坐标是(,）；
（3）在对称轴的左侧,即当ｘ<时,y随ｘ的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x＞时,y随x的增大而增大
（４)抛物线有最低点,当x=时，ｙ有最小值,
（1)抛物线开口向下,并向下无限延伸；
(2）对称轴是x＝,顶点坐标是（，）;
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大；在对称轴的右侧,即当x〉时，y随ｘ的增大而减小
(4)抛物线有最高点，当ｘ=时，ｙ有最大值，
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　（１)一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2）顶点式:．已知图像的顶点或对称轴以及最值,通常选择顶点式．
　 求抛物线的顶点、对称轴的方法:,
∴顶点是，对称轴是直线．
（３）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根,故
,的作用
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决定开口方向及开口大小:
〉0,开口向上;<0，开口向下;越大,开口越小
（２)和决定抛物线对称轴（左同右异）
①时,对称轴为轴；
②(即、同号)时，对称轴在轴左侧;
③（即、异号）时,对称轴在轴右侧．
（3）决定抛物线与轴交点的位置．
①，抛物线经过原点;
　 ②，与轴交于正半轴；
③,与轴交于负半轴.
(4)决定抛物线与轴的交点个数
　　 　 ①,有2个交点
②　有1个交点；
　　 ③,无交点
二、例题解析
　例1 已知：二次函数为y=ｘ2－x+ｍ
写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；
ｍ为何值时,顶点在ｘ轴上方
（3)若抛物线与ｙ轴交于A，过A作AＢ∥ｘ轴交抛物线于另一点Ｂ,当S△AＯB=4时,求此二次函数的解析式．
【分析】(1)用配方法可以达到目的;（2)顶点在ｘ轴的上方,即顶点的纵坐标为正;
（3）ＡＢ∥ｘ轴，Ａ,Ｂ两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值.
【解答】(1)∵由已知y=x2－ｘ+ｍ中,二次项系数a＝1＞0，∴开口向上，
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　 　又∵y=ｘ2-ｘ＋ｍ=［ｘ2－ｘ＋（）2]— +ｍ=(ｘ－)2+
　 ∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（,）.
　 　(2）∵顶点在ｘ轴上方,
　　 ∴顶点的纵坐标大于0，即＞0
∴m>
∴ｍ〉时,顶点在x轴上方．
(3)令x=0，则y=ｍ．
　 　 即抛物线ｙ=x2－x＋ｍ与y轴交点的坐标是A(０,m)．
　 　 ∵ＡB∥x轴
∴B点的纵坐标为m.
　 　当x2-x＋ｍ＝ｍ时，解得x１=0,ｘ2=1．
　 　 ∴A(0，m），B（1,m)
在Ｒｔ△BAO中,AB=１，OＡ=│m│.
　　 ∵Ｓ△AＯB ＝ＯＡ·AB=４.
　 ∴│m│·1=4,∴ｍ=±8
故所求二次函数的解析式为y＝x２－x＋8或y＝x2-x-8.
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数ａ，b,ｃ的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.
　例２ 已知：ｍ，ｎ是方程ｘ２-6ｘ+5=0的两个实数根,且m〈n,抛物线y=-x2＋bx+c的图像经过点Ａ(ｍ，０）,B(0，n),如图所示.
(1)求这个抛物线的解析式；
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(2)设（1)中的抛物线与ｘ轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积；
(３)Ｐ是